Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


babymath

Đăng ký: 24-02-2013
Offline Đăng nhập: 28-09-2014 - 08:48
-----

Chủ đề của tôi gửi

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN Trường ĐH GTVT TPHCM

03-01-2014 - 09:40

Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \},n \in \mathbb{N}$ được xác định như sau:
$$u_{1}=1, u_{n}=\frac{n}{n+1}u_{n-1}+\alpha _{n} \left ( n=2,3,... \right )$$
Trong đó $\alpha _{n}$ là dãy số cho trước.
a) Tính $u_{2013}$, biết rằng $\alpha _{n}=\frac{n^{2}}{n+1}.$
b) Tính $\lim_{n \to \infty }u_{n}$, biết rằng $\lim_{n \to \infty }\left ( n+1 \right )\alpha _{n}=2013$
 
Câu 2:
a) Cho $a_{1},...,a_{n}$ là các số dương. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm dương:
$$x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}=0.$$
b)Cho $\alpha \in \left ( 0,1 \right )$. Chứng minh rằng:
$$\left ( 1+x \right )^{\alpha }\leq 1+\alpha x-\frac{\alpha \left ( \alpha -1 \right )}{8}x^{2},\forall x\in \left \lfloor -1,1 \right \rfloor.$$
 
Câu 3: Tính các giới hạn sau:
a) $A=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-cosx}}{\sqrt{sinx}}$
b) $B=\lim_{x \to 0}\left ( x^{2}\left ( 1+2+3+...+\left [ \frac{1}{\left [ x \right ]} \right ] \right ) \right )$
(trong đó $\left [ x \right ]$ là phần nguyên của $x$ )
 
Câu 4: Cho $f:\left [ -1,1 \right ]\to\mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và thỏa điều kiện:
$$f\left ( -1 \right )=f\left ( 0 \right )=0=f^{'}\left ( 0 \right )=0;f\left ( 1 \right )=1$$
Chứng minh rằng tồn tại  $c\in \left ( -1,1 \right )$ sao cho $f^{'''}\left ( c \right )\geq 3$.Tìm 1 hàm $ f$ thỏa các điều kiện trên sao cho $f^{'''}\left ( x \right )=3,\forall x\in \left [ -1,1 \right ].$
 
Câu 5: Tính các tích phân sau:
a) $J\left ( x \right )=\int \left ( x+3 \right )e^{x}cos3xdx$
b) $I_{n}=\int_{-\pi }^{\pi }\frac{sinnx}{\left ( 1+2^{x} \right )sinx}dx \left ( n\in \mathbb{N} \right )$
 
Câu 6: Cho đa thức $ P\left ( x \right )=x^{2}+mx+n \left ( m,n\in \mathbb{Z} \right )$. Chứng minh rằng tồn tại số $k$ nguyên sao cho $P\left ( k \right )=P\left ( 2013 \right ).P\left ( 2014 \right ).$

 


Tìm $\lim_{n\to+\infty} 3^n\sqrt{\dfrac...

03-05-2013 - 23:25

Cho $\left(x_n\right)$ là dãy số thực thỏa mãn $x_1=1,x_{n+1}^2=\dfrac{x_n+3}{2},\forall n\geq 1$.

Tính $\lim_{n\to+\infty} 3^n\sqrt{\dfrac{9}{4}-x_n^2}$

 


Chứng minh $C=A+B$ có trị riêng dương

07-03-2013 - 01:17

Cho $A,B$ là các ma trận vuông đối xứng cùng cấp có các trị riêng đều dương.Chứng minh rằng ma trận $C=A+B$ cũng có các trị riêng dương.

Xét tính hội tụ của dãy $x_{n+2}=-\dfrac{1}{2}...

28-02-2013 - 10:13

Xét xem dãy sau có hội tụ không và tìm giới hạn (nếu có)
$x_0=a\in\mathbb{R},x_1=b\in\mathbb{R},x_{n+2}=-\dfrac{1}{2}\left(x_{n+1}-x_{n}^2\right)^2+x_{n}^4\;\forall n\in\mathbb{N} $ và $|x_n|\leq \dfrac{3}{4},\forall n\in\mathbb{N}$

Chứng minh $f$ là ánh xạ tuyến tính

24-02-2013 - 13:12

Cho $V$ là không gian Euclide $n$ chiều .Chứng minh $f:V\to\mathbb{R}$ là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vecto $a\in V$ cố định sao cho $f(x)=<a,x>\;\forall x\in V$($<a,x>$ là tích vô hướng quen thuộc)