Tìm kiếm
Nam
Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \},n \in \mathbb{N}$ được xác định như sau:
$$u_{1}=1, u_{n}=\frac{n}{n+1}u_{n-1}+\alpha _{n} \left ( n=2,3,... \right )$$
Trong đó $\alpha _{n}$ là dãy số cho trước.
a) Tính $u_{2013}$, biết rằng $\alpha _{n}=\frac{n^{2}}{n+1}.$
b) Tính $\lim_{n \to \infty }u_{n}$, biết rằng $\lim_{n \to \infty }\left ( n+1 \right )\alpha _{n}=2013$
Câu 2:
a) Cho $a_{1},...,a_{n}$ là các số dương. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm dương:
$$x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}=0.$$
b)Cho $\alpha \in \left ( 0,1 \right )$. Chứng minh rằng:
$$\left ( 1+x \right )^{\alpha }\leq 1+\alpha x-\frac{\alpha \left ( \alpha -1 \right )}{8}x^{2},\forall x\in \left \lfloor -1,1 \right \rfloor.$$
Câu 3: Tính các giới hạn sau:
a) $A=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-cosx}}{\sqrt{sinx}}$
b) $B=\lim_{x \to 0}\left ( x^{2}\left ( 1+2+3+...+\left [ \frac{1}{\left [ x \right ]} \right ] \right ) \right )$
(trong đó $\left [ x \right ]$ là phần nguyên của $x$ )
Câu 4: Cho $f:\left [ -1,1 \right ]\to\mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và thỏa điều kiện:
$$f\left ( -1 \right )=f\left ( 0 \right )=0=f^{'}\left ( 0 \right )=0;f\left ( 1 \right )=1$$
Chứng minh rằng tồn tại $c\in \left ( -1,1 \right )$ sao cho $f^{'''}\left ( c \right )\geq 3$.Tìm 1 hàm $ f$ thỏa các điều kiện trên sao cho $f^{'''}\left ( x \right )=3,\forall x\in \left [ -1,1 \right ].$
Câu 5: Tính các tích phân sau:
a) $J\left ( x \right )=\int \left ( x+3 \right )e^{x}cos3xdx$
b) $I_{n}=\int_{-\pi }^{\pi }\frac{sinnx}{\left ( 1+2^{x} \right )sinx}dx \left ( n\in \mathbb{N} \right )$
Câu 6: Cho đa thức $ P\left ( x \right )=x^{2}+mx+n \left ( m,n\in \mathbb{Z} \right )$. Chứng minh rằng tồn tại số $k$ nguyên sao cho $P\left ( k \right )=P\left ( 2013 \right ).P\left ( 2014 \right ).$
