unvhoang1998

Cho $P(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên không âm và các hệ số không vượt quá $14$ thỏa mãn điều sau:

$P(15)=491998$. Chứng minh rằng $P(2015) \vdots 7$

Theo mình thì mình giải bài này với điều kiện b được thay bằng điều kiện là $f$ là hàm đơn ánh trên $R$ và mình giải như sau:

Đầu tiên ta cho $x=0 ; y=0$ khi đó ta được

$f(2f(0))=f^{2}(0)$   Đặt $f(0)=a$

Cho $ y=-x4 thì ta được

$f(2x^{2}+2f^{2}(-x^{2})=f^{2}(0)=f(2f(0))  ,\forall x \in R $ 

Theo tính chất đơn ánh thì 

$x^{2}+f(-x^{2})=f(0)  , \forall x \in R$

$\Leftrightarrow f(x)=x+a  , \forall x \leq 0$

Cho $ x=y$

thì $f(2x^{2}+2f(2x^{2}))=f^{2}(2x)   , \forall x \in R$

lại cho $x \rightarrow 2x ,   y \rightarrow 0$

thì $f(4x^{2}+2a)=f^{2}(2x)   , \forall x \in R$

do vậy nên 

$ f(x^{2}) +x^{2} =2x^{2} +a  ,   \forall x \in R$

$\Leftrightarrow f(x) =x +a ,   \forall x \geq 0$

Tóm lại $f(x) =x +a,   \forall x \in R$

Thử lại thấy $a=0$ 

Vậy hàm số duy nhất thoả mãn là 

$f(x) =x ,  \forall x \in R$

Cho đường tròn $(O)$. Một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến $AM,AN$. Qua $O$ vẽ đường thẳng song song với $MN$ cắt $AM, AN$ lần lượt tại $B,C$. Điểm $G,H$ bất kì thuộc $AB, AC$ thỏa mãn $GH$ là tiếp tuyến của đường tròn. $HB$ cắt $MN$ tại $K$. Chứng minh $KG$ song song với $AC$

Cho tam giác $ABC$. $AK$ là đường đối trung của góc $BAC$ của tam giác ($K$ thuộc $BC$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKC$ cắt $AB$ tại $P$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKB$ cắt $AC$ tại $Q$. Chứng minh rằng $KP=KQ$

==================================================================================================

Gọi $I,J$ là giao của $SP$ với $(O)$ (như hình vẽ)

có ngay $IK=LJ$

mà góc $SCM=SPC$ nên $MI=MJ$

Do đó $MK=ML$

 

làm phiền bạn có thể giải thích cho mình chỗ này được không

CMR: Dãy số $A_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$(n nguyên dương) chứa những dãy chứa vô hạn các số nguyên tố cùng nhau

                                                                      

Giả sử có k số nguyên đôi một nguyên tố cùng nhau là $A_{1}=1, A_{2}=3,..., A_{k}=m ; m\in Z^{+}$

Khi đó đặt $a=A_{1}A_{2}...A_{k}$ 

Xét cũng trong dãy số đó thì

$A_{2a+1}=(a+1)(2a+1) > A_{k}$

mà lại có $( A_{2a+1}, A_{k})=1$

Do đó $A_{2a+1}$ nguyên tố cùng nhau với tất cả các số  $A_{1}, A_{2},... A_{k}$

Vậy ta có Đpcm

Cho tập hợp $X= { 1,2,...,n } $. Gọi $A,B$ là hai tập con của $X$. Tìm tất cả các bộ $(A,B)$ thỏa mãn $A$ không phải là tập con của $B$ và $B$ cũng không phải là tập con của $A$

Cho điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$. Các tia $AP,BP,CP$ lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại $K,L,M$.

Tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn cắt $AB$ tại $S$.

CMR $SC=SP$ khi và chỉ khi $MK=ML$

Cho số nguyên dương $n$ và hai số nguyên tố cùng nhau $a,b$. Gọi $p,q$ là hai ước lẻ $> 1$ của $a^{6^{n}}  + b^{6^{n}}$

Hãy tìm số dư khi chia $p^{6^{n}}+q^{6^{n}}$ cho $6.(12)^{n}$ 

Cho tam giác $ABC$. $I$ là điểm bất kì bên trong mặt phẳng. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$. Qua $M, N ,P$ lần lượt vẽ các đường thẳng $\Delta _M$, $\Delta _N$, $\Delta _P$ song song với $AI$, $BI$, $CI$. Chứng minh $\Delta _M$, $\Delta _N$, $\Delta _P$ đồng quy

Chứng Minh Rằng có vô số số nguyên dương $x$ thoả mãn:

  $2^{x}+3^{x}   \vdots   x^{2}$

Mình muốn share cho các mem hai tài liệu sau >>>>>>>>>>>>>>>>> ai cần cứ tải                    

Chứng minh rằng:

   $tan34^{o} > \frac{2}{3}$

Bài này vẫn còn một cách nữa đó là:

áp dụng công thức sau: $x^{p} \equiv x (mod  p)$ với $p$ nguyên tố 

thay lần lượt $x$ bằng $a,b,a+b$ từ đó ta có đpcm

cai chỗ $a_n=3^n+3.\left ( -1 \right )^n$ nói dễ chả dẽ tí nào