Strygwyr

Bài toán :

Cho $p$ là một số nguyên tố có dạng $4k+1$ thỏa mãn $2^p\equiv 2(mod p^2)$.

Chứng minh rằng tồn tại một ước nguyên tố $q$ của $2^p-1$ thỏa mãn $2^q>(6p)^p$.

Cho $n \in \mathbb{N} \geq 2$.

Chứng minh rằng đa thức $x^n-x-1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$.

Bài toán :

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn

$(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=4$

Tìm GTNN của biểu thức

$P=(a^{4}+b^{4}+c^{4})(\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}+\frac{1}{c^{4}})$

(Đề chọn đội tuyển HSG Phú Thọ vòng 1 năm 2013-2014)

Bài toán :

Cho tam giác $ABC$ và một điểm $D$ bất kì thuộc mặt phẳng sao cho $\widehat{DBA}=\widehat{DCA}=\widehat{BAC}$. Chứng minh rằng $D$ thuộc đường thẳng $Euler$ của tam giác $ABC$.

Bài toán :

Cho $T$ là điểm $Toricelli$ của tam giác nhọn $ABC$. $AT,BT,CT$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $A_0,B_0,C_0$. Các điểm $A_1,B_1,C_1$ lần lượt đối xứng với $T$ qua $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $A_0A_1, B_0B_1, C_0C_1$ đồng quy.