Ta sử dụng bài toán nhỏ sau :nếu a,b,c dương thỏa mãn abc=1 thì $\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )^{2}\geq 3\left ( a+b+c \right )\geq 6$.Thật vậy nó
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}}+2\left ( a+b+c \right )\geq 3\left ( a+b+c \right )\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}}\geq a+b+c$
Luôn đúng do :$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{2}{ab}=2c$
AD bdt Cô si có $a^{3}+1+1\geq 3a\Rightarrow a^{3}+3\geq 3a+1$
Do đó $P\geq \sum \frac{3a+1}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{3}{a^{2}(b+c)}+\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}=A+B$
Lại có $A=\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{ab+ac}\geq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2}\geq \frac{3}{2}$
$\frac{B}{3}=\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{b+c}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}{2a+2b+2c}\geq \frac{3}{2}$
dpcm
- Ha Manh Huu yêu thích