Đến nội dung

luuvanthai

luuvanthai

Đăng ký: 02-03-2013
Offline Đăng nhập: 11-05-2019 - 10:35
**---

#442158 $\frac{a^3+3}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+3...

Gửi bởi luuvanthai trong 12-08-2013 - 11:53

Ta sử dụng bài toán nhỏ sau :nếu a,b,c dương thỏa mãn abc=1 thì $\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )^{2}\geq 3\left ( a+b+c \right )\geq 6$.Thật vậy nó

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}}+2\left ( a+b+c \right )\geq 3\left ( a+b+c \right )\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}}\geq a+b+c$

Luôn đúng do :$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{2}{ab}=2c$

AD bdt Cô si có $a^{3}+1+1\geq 3a\Rightarrow a^{3}+3\geq 3a+1$

Do đó $P\geq \sum \frac{3a+1}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{3}{a^{2}(b+c)}+\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}=A+B$

Lại có $A=\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{ab+ac}\geq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{B}{3}=\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{b+c}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}{2a+2b+2c}\geq \frac{3}{2}$

dpcm




#442006 $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}...

Gửi bởi luuvanthai trong 11-08-2013 - 17:12

Không biết đề bài là $\frac{1}{\sqrt{1+z}}$ hay là $\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$ nhỉ?

Thôi kệ.))):

Giả sử z là số lớn nhất trong 3 số x,y,z$\Rightarrow z\geq 1$ còn $xy\leq 1$

CM được với $xy\leq 1$ thì $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$

Do đó $P\leq \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{z}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}$=f(z)

Khảo sát f(z) với $1\leq z\leq 4$ (chú ý f(z) đồng biến)$\Rightarrow P\leq f(4)=\sqrt{5}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2};z=4$ và các hoán vị




#441991 GTNN của $P=\frac{a^3+b^3-a^2-b^2}{(a-1)(b-1)}+2(a^2+b^2)-16\s...

Gửi bởi luuvanthai trong 11-08-2013 - 15:46

$P=\frac{a^{2}}{b-1}+\frac{b^{2}}{a-1}+2(a^{2}+b^{2})-16\sqrt{ab}$$\geq \frac{2ab}{\sqrt{a-1}\sqrt{b-1}}+4ab-16\sqrt{ab}$

mà $\sqrt{a-1}\leq \frac{a-1+1}{2};\sqrt{b-1}\leq \frac{b-1+1}{2}$ nên 

P$\geq 8+4(\sqrt{ab}-2)^{2}-8\geq -16$

Dấu = xảy ra khi a=b=2




#438424 $(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+1)( \dfrac{1}{1+a^2} +...

Gửi bởi luuvanthai trong 26-07-2013 - 19:40

Muốn bdt này đúng thì phải có a,b,c$\geq 1$

Sử dụng bổ đề:với a,b,c$\geq \geq 1$ thì $\sum \frac{1}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{1+\left ( \sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}} \right )^{2}}$

Lại có $\sum (a^{2}b^{2})+1\geq \sqrt[3]{(abc)^{4}}+1$

Từ đó có dpcm




#438411 $\sum\sqrt{\frac{a^{21}}{7a...

Gửi bởi luuvanthai trong 26-07-2013 - 18:32

Viết lại bdt dưới dạng $P= \sum \sqrt{\frac{a^{18}}{7a^{6}+2b^{3}c^{3}}}$

Đặt $x= a^{3};y= b^{3};z= c^{3}$thì 

P$= \sum \frac{x^{3}}{\sqrt{7x^{2}+2yz}}$

$\geq \frac{\left ( \sum x^{2} \right )^{2}}{\sum x\sqrt{7x^{2}+2yz}}$

Đặt $Q= \sum 3x\sqrt{7x^{2}+2yz}\leq 8\sum x^{2}+\sum xy$

Ta cm $3\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )$^{2}$\geq 8\sum x^{2}+\sum xy$ là xong

Thật vậy $Q\leq 9\sum x^{2}\leq 3\sum \left ( x^{2} \right )^{2}$ do $\sum x^{2} \geq 3$




#437902 GTNN $\frac{a^2}{\sqrt{a^2+bc}}+...

Gửi bởi luuvanthai trong 24-07-2013 - 19:28

Viết lại bđt dưới dạng:P=$\sum \sqrt{\frac{a^{5}}{a^{3}+1}}$

$Q=\sum a^{5}(a^{3}+1)$

Áp dụng bđt Holer có:$P^{2}Q\geq (a^{10}+b^{10}+c^{10})^{3}$

$P^{2}\geq \frac{(\sum a^{10})^{3}}{\sum a^{8}+\sum a^{5}}$

Ta xét bài toán tổng quát:Nếu x,y,z không âm thỏa mãn xyz=1 thì $\sum x^{n+1}\geq \sum x^{n}$ n nguyên dương

$\Leftrightarrow \sum x^{n}(x-1)\geq 0$

luôn đúng khi ta dùng bđt chebeshep cho 2 bộ số đơn điệu cùng chiều($(x^{n},y^{n},z^{n});(x-1,y-1,z-1)$

Đặt $\sum a^{10}=m,;n=\sum a^{8};p=\sum a^{5}\Rightarrow m\geq n\geq p$

Ta cần cm:$\frac{m^{3}}{n+p}\geq \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{m^{2}}{\frac{n}{m}+\frac{p}{m}}\geq \frac{9}{2}( đúng do m\geq 3;\frac{n}{m}\leq 1)$




#419830 Cho a,b,c thực không âm thoả mãn:a+b+c=3.Tìm max của: $P=\sqrt...

Gửi bởi luuvanthai trong 20-05-2013 - 21:29

Bài này tư tưởng chính là khảo sát theo biến a+b+c ?

Ta có 

$(1+a^{3})(1+b^{3})\leq 1+(a+b)^{3} \Leftrightarrow a^{3}b^{3}\leq 3ab(a+b) \Leftrightarrow ab(3a+3b-a^{2}b^{2})\geq 0$

(luôn đúng vì $\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}\leq \frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$)

Tương tự ta cũng có :$(1+(a+b)^{3})(1+c^{3})\leq (1+(a+b+c)^{3})$

Đặt $(a+b+c)^{3}=t$($0\leq t\leq 27$

Khảo sát :$f(t)=\sqrt{1+t}-\frac{t}{8}$ với điều kiện đó ta có P max=$\frac{17}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi 2bieens bằng 0 biến còn lại bằng $\sqrt[3]{15}$




#419189 $A=\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{...

Gửi bởi luuvanthai trong 18-05-2013 - 18:23

Cho tớ bổ sung 1 bài này:

Cho x,y,z thực tm:x,y,z thuộc (0;1]$CM:

$\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leq \frac{5}{x+y+z}$




#414119 giải phương trình:$4\sin ^{3}x+3\cos ^{2}x...

Gửi bởi luuvanthai trong 21-04-2013 - 15:13

Do $sin(x)^{2}+cos(x)^{2}=1$ 

$\Rightarrow 4sin(x)^{3}+3cos(x)^{2}-3sin(x)(cos(x)^{2}+sin(x)^{2})-sin(x)^{2}cos(x)=0$

$\Leftrightarrow sin(x)^{3}+3cos(x)^{2}-3sin(x)cos(x)^{2}-sin(x)^{2}cos(x)=0$

 

Đay la pt rhuan nhat bac 3?anh thu xem $3cos(x)^{2}$ hay$3cos(x)^{3}$




#412274 Cho a+b+c=1.CM:$\frac{a+b}{c}+\frac{a...

Gửi bởi luuvanthai trong 13-04-2013 - 19:54

AD BĐT Cosi:

$\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}}{bc}}=\frac{2a\sqrt{a}}{\sqrt{bc}}$

$VT\geq \frac{2a\sqrt{a}+2b\sqrt{b}+2c\sqrt{c}}{\sqrt{abc}}$

C/m:$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\geq \frac{\sqrt{3}}{3}$

$a\sqrt{a}+\frac{\sqrt{a}}{3}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}a$

C/m:$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3}$(luon dung vi $3(a+b+c)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}$)$\Rightarrow dpcm$




#411142 C/mR :$\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2...

Gửi bởi luuvanthai trong 07-04-2013 - 20:48

Đặt $\frac{a}{b-c}=x;\frac{b}{a-c}=y;\frac{c}{a-b}=z$

Khi đó:$(1+x)(1+y)(1+z)=-(1-x)(1-y)(1-z)$

$\Rightarrow xy+yz+xz=-1$

Lại có:$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2(xy+yz+zx)=2(do (x+y+z)^{2}\geq 0)$

$\Rightarrow dpcm$




#409348 $\frac{1}{2+\frac{1}{a}...

Gửi bởi luuvanthai trong 31-03-2013 - 08:49

Đạt :$\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z$$\Rightarrow xyz=1$

Ta cm:$\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2+y}+\frac{1}{2+z}\leq 1$

$\Leftrightarrow 12+4(x+y+z)+xy+yz+xz\leq 8+4(x+y+z)+2(xy+yz+xz)+xyz$

$\Leftrightarrow xy+yz+xz\geq 3$

$\Rightarrow dpcm$


  • NLT yêu thích


#408909 $\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt...

Gửi bởi luuvanthai trong 29-03-2013 - 19:42

Chuyển vế rồi liên hợp ta có:

$x^{2}-x-1=0$

hoặc :$\frac{1}{x(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+1)}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-x}+1}=0 (2)$

Ta CM (2) vô nghiệm :

Xét :$-1\leq x\leq 0$  

vi nếu x>0 thì hiển nhiên pt vô ngiem 

$(2)\Leftrightarrow -\sqrt{x^{3}-x}+x+1+\sqrt{x^{2}-x}=0$

$\Rightarrow \sqrt{x^{3}-x}\geq \sqrt{x^{2}-x}$

$\Rightarrow \sqrt{x^{3}-x}\geq \sqrt{x^{2}-x}\Leftrightarrow x\geq 1$

vô lí 




#407325 $A=(xy+yz+2xz)^{2}-\frac{8}{(x+y+z)^{2}-xy-yz+2}$

Gửi bởi luuvanthai trong 23-03-2013 - 21:09

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.Tìm GTNN:
$A=(xy+yz+2xz)^{2}-\frac{8}{(x+y+z)^{2}-xy-yz+2}$


#407322 Tìm min Q=$\frac{(a+b-c)^{3}}{2c}+...

Gửi bởi luuvanthai trong 23-03-2013 - 21:03

AD bdt cô si cho 3 số không âm có:
$\frac{(a+b-c)^{3}}{2c}+\frac{c}{2}+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{2}(a+b-c)$
Xây dựng 2 bdt tương tự cộng lại là xong