dangviethung

Bài 23 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ và thỏa mãn :

$$\left\{\begin{matrix} f(x+1)=f(x)+1\\ f(x^5)=f^5(x)\\ \end{matrix}\right.,\;\forall x\in \mathbb{Q}^+$$

 

Bài 24 : Giải phương trình :

$$x=\sqrt[5]{11\sqrt[5]{11\sqrt[5]{11x+10}+10}+10}$$

Bài 23: 

Từ $f(x+1)=f(x)$ quy nạp ta đuợc: $f(x+n)=f(x)+n$ với mọi  $n\epsilon Z_{+}$

Đặt $r=\frac{p}{q}$, Xét :

$f((r+q^{4})^{5})=f^{5}(r+q^{4})=(f(r)+q^{4})^{5}$

Lại có: $f((r+q^{4})^{5})=f(r^{5}+5r^{4}q^{4}+10r^{3}q^{8}+10r^{2}q^{12}+5rq^{16}+q^{20})$

Từ đó ta suy ra f $f(x)=x$ với mọi $x\epsilon Q_{+}$

Cảm ơn hai bạn nha.Mình hiểu rồi.Mình học chuyên Văn ==' nhưng thích học Toán quá

bạn vậy là dc rồi.

mình học chuyên toán mà còn thấy kẹt chỗ vecto nữa.

giỏi cả văn - toán đi khối d là ok rồi.

Theo mình thì chỉ đăng bài tập lên thôi, ko cho ai post lời giải lên hết, khóa topic lại. Thế là xong, khi nào qua số đó rồi thì được phép thảo luận.

Lời giải của mình, hơi dài :

GIẢI :

Gọi $S_{T}$ là tích các phần tử của tập hợp $T$.

Xét $n = 1$ không thỏa mãn

Xét $n\geq 2$ :

$\boxed{\Delta }$ Nếu tập hợp ban đầu được chia thành hai tập : Tập $A$ chứa $5$ phần tử và tập $B$ chứa $1$ phần tử

Nếu tập $B$ chứa phần tử $n+i$ với $i\in \left \{ 0;1;2;3;4 \right \}$

Thì $S_{B}=n+i<n+5<S_{A}$

Do đó tập $B$ phải chứa phần tử $n+5$ : $n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=n+5$

Dễ thấy điều này vô lí vì $n+5<n^{2}+7n+12=(n+3)(n+4)<n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$

$\boxed{\Delta }$ Nếu tập ban đầu được chia thành hai tập : Tập $A$ chứa $4$ phần tử và tập $B$ chứa $2$ phần tử

Xét  $MaxS_{B}=(n+4)(n+5)$ và $MinS_{A}=n(n+1)(n+2)(n+3)$

Vì $n\geq 2$ nên $n+5<n(n+3)$ và $n+4<(n+1)(n+2)$ nên $MaxS_{B}<MinS_{A}$

Do đó trường hợp này cũng không tìm được $n$ thỏa mãn

$\boxed{\Delta }$ Nếu tập ban đầu được chia thành hai tập : Tập $A$ và tập $B$ đều chứa $3$ phần tử

Nhận xét rằng trong $6$ số nguyên dương liên tiếp thì luôn tồn tại nhiều nhất $2$ số chia hết cho $5$

• Nếu tập đã cho chứa hai phần tử chia hết cho $5$ thì $5|n$ và $5|(n+5)$

+) Nếu $n$ và $n+5$ cùng thuộc một tập hợp thì một tích chia hết cho $5$, tích kia không chia hết cho $5$ (loại)

+) Nếu $n$ và $n+5$ thuộc hai tập hợp khác nhau. Gỉa sử $n\in A$ và $n+5\in B$ :

Gỉa sử $A$ chứa phần tử $n+1$ thì :

$$S_{A}=n(n+1)(n+a)$$

$$S_{B}=(n+b)(n+c)(n+5)$$

Với $a,b,c\in \left \{ 2;3;4 \right \}$

Ta luôn có $$n<n+b;n+1<n+c;n+a<n+5$$

$$\Rightarrow S_{A}<S_{B}$$ 

Do đó $A$ không thể chứa phần tử $n+1$.

Suy ra $\left\{\begin{matrix} S_{A}=n(n+a)(n+b) & & \\ S_{B}=(n+1)(n+c)(n+5) & & \end{matrix}\right.$

Với $a,b,c\in \left \{ 2;3;4 \right \}$

- Khi $c=2$ thì $n(n+3)(n+4)=(n+1)(n+2)(n+5)\Leftrightarrow n^{2}+5n+10=0$ (loại)

- Khi $c = 3$ thì : 

$S_{A}=n(n+2)(n+4)$ và $S_{B}=(n+1)(n+3)(n+5)$.

Dễ thấy $S_{A}<S_{B}$ (loại)

- Khi $c = 4$ thì : 

$S_{A}=n(n+2)(n+3)$ và $S_{B}=(n+1)(n+4)(n+5)$

Dễ thấy $S_{A}<S_{B}$ (loại)

• Nếu tập đã cho có đúng một phần tử chia hết cho $5$ thì sẽ có một tích chia hết cho $5$, một tích không chia hết cho $5$ (loại)

Kết luận : Không tồn tại $n$ thỏa mãn đề bài.

Hay, cho mình tham khảo để làm bài nhé, bài này căng , mà bạn giỏi Số học quá

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\geq b\geq c$

Sử dụng tính chất $f(a)-f(b)\vdots (a-b)$

Ta có : $P(a)-P(b)\vdots a-b\Rightarrow (b-c)\vdots (a-b)\Rightarrow |b-c|\geq |a-b|$  $(1)$

Tương tự, ta được :

$|c-a|\geq |b-c|$  $(2)$

$|a-b|\geq |c-a|$  $(3)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $|c-a|\geq |a-b|$  $(4)$ 

Từ $(3)(4)$ suy ra $|a-b|=|c-a|$

$\Rightarrow a-b= a-c\Rightarrow b=c$

Thay vào $(1)$ được $|a-b|\leq 0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b$

Do đó $a=b=c$, mâu thuẫn với $a,b,c$ phân biệt

Vậy : Không tồn tại đa thức thỏa mãn đề bài

Huy này, đa thức P(x) đâu phải hệ số nguyên đâu mà bạn áp dụng tính chất f(a) - f(b) chia hết cho a - b được

Bạn coi lại xem nhé