nhocxinh

Hai đường chéo của một tứ giác $ABCD$ chia tứ giác thành $4$ phần có diện tích là các số tự nhiên. Chứng minh tích của $4$ số tự nhiên đó là một số chính phương.

Trong một giải bóng đá, có $4$ đội thi đấu vòng tròn một lượt (trong một trận, đội thắng được $3$ điểm, đội thua được $0$ điểm và đội hoà được $1$ điểm) Khi kết thúc giải, người ta thấy có $3$ đội đạt được tổng số điểm lần lượt là $6$ điểm, $5$ điểm và $1$ điểm. Hãy cho biết đội còn lại của giải có tổng số điểm là bao nhiêu.

Cho một bảng vuông $4\times 4$, Treen các ô của bảng vuông này, ban đầu người ta ghi $9$ số $1$ và $7$ số $0$ tuỳ ý (mỗi ô một số). Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép bất kỳ một hàng hoặc một côt trên bảng được chọn đổi đồng thời các số $0$ thành số $1$ và các số $1$ thành số $0$. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như trên, ta không thể đưa bảng ban đầu về toàn các số $0$. Cũng hỏi tương tự như trên, có thể biến đổi bảng ban đầu về toàn các số $1$ được không.

Giả sử $A$ là một tập hợp gồm $9$ số nguyên dương mà tích của chúng có không quá $3$ ước nguyên tố. Chứng minh trong $A$ tồn tại $2$ số có tích là một bình phương đúng.

$a$. Hãy chỉ ra cách sắp xếp 8 số nguyên dương đầu tiên $1;2;3;...;8$ thành một dãy $a_1;a_2;...;a_n$ sao cho với $2$ số $a_i$ và $a_j$ bất kỳ ($i<j$) thì mọi số trong dãy nằm giữa $a_i$ và $a_j$ đều khác $\frac{a_i+a_j}{2}$

$b$. Hãy chứng minh với n số nguyên dương đầu tiên $1;2;3;...;n$ luôn có một cách sắp xếp thành dãy $a_1;a_2;...;a_n$ thoả mãn điều kiện của câu $a$.