Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


buiminhhieu

Đăng ký: 05-03-2013
Offline Đăng nhập: 22-05-2019 - 22:36
****-

#640491 Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

Gửi bởi buiminhhieu trong 15-06-2016 - 14:48

$59)\left\{\begin{matrix} x^{2}+3y\sqrt{\frac{x^{2}-1}{y}}=1+4y & \\ \sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x+y-x^{2}}=y& \end{matrix}\right.$

$60)\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x+y}+\sqrt{2x+7y} =10& \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{3x+y}})=2& \end{matrix}\right.$

$61)\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y}+y\sqrt{x}+2(x+y-xy)=4 & \\ x\sqrt{x^{2}+3xy}+y\sqrt{y^{2}+3xy}=4& \end{matrix}\right.$

$62)\left\{\begin{matrix} xy+6y\sqrt{x-1}+12y=4 & \\ \frac{xy}{1+y}+\frac{1}{xy+y}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}& \end{matrix}\right.$

$63)\left\{\begin{matrix} 9y^{2}(x+3y)=1-x^{3}y^{3} & \\ \sqrt{x^{2}+1}=y+2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

$64)(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}=x^{2}+7x+12$




#640486 $6)(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}=x^...

Gửi bởi buiminhhieu trong 15-06-2016 - 14:38

$1)\left\{\begin{matrix} x^{2}+3y\sqrt{\frac{x^{2}-1}{y}}=1+4y & \\ \sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x+y-x^{2}}=y& \end{matrix}\right.$

$2)\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x+y}+\sqrt{2x+7y} =10& \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{3x+y}})=2& \end{matrix}\right.$

$3)\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y}+y\sqrt{x}+2(x+y-xy)=4 & \\ x\sqrt{x^{2}+3xy}+y\sqrt{y^{2}+3xy}=4& \end{matrix}\right.$

$4)\left\{\begin{matrix} xy+6y\sqrt{x-1}+12y=4 & \\ \frac{xy}{1+y}+\frac{1}{xy+y}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}& \end{matrix}\right.$

$5)\left\{\begin{matrix} 9y^{2}(x+3y)=1-x^{3}y^{3} & \\ \sqrt{x^{2}+1}=y+2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

$6)(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}=x^{2}+7x+12$




#569250 Kì thi THPTQG 2015 - môn Toán

Gửi bởi buiminhhieu trong 01-07-2015 - 11:22

Câu 10:

$(a-1)(b-1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow (ab-a-b+1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow abc-ab-ac+a-bc+b+c-1\geq 0\Leftrightarrow abc\geq ab+bc+ac-5$

$(3-a)(3-b)(3-c)\geq 0\Leftrightarrow (9-3b-3a+ab)(3-c)\geq 0\Leftrightarrow 27-9c-9b-9a+3ac+3ab+3bc-abc\geq 0\Leftrightarrow 3ab+3bc+3ac\geq 27+abc\geq ab+bc+ac-5+27\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 11$

$P=\frac{\sum a^2b^2+12abc+72}{ab+bc+ac}-\frac{1}{2}abc\leq \frac{(ab+bc+ac)^2-12abc+12abc+72}{ab+bc+ac}-\frac{1}{2}(ab+bc+ac-5)=\frac{ab+bc+ac}{2}+\frac{72}{ab+bc+ac}+\frac{5}{2}=\frac{t}{2}+\frac{72}{t}+\frac{5}{2}(t=ab+bc+ac;t\geq 11)$

Ko bít có đúng ko còn đoạn cuối ai giải quyết nốt được ko

Nốt:

Ta có $t=ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=12\Rightarrow 11 \leq t\leq 12$

Xét $\frac{t}{2}+\frac{72}{t}+\frac{5}{2}-\frac{160}{11}=\frac{(11t-144)(t-11)}{22t}\leq 0$

$\Rightarrow Max=\frac{160}{11}$

Dấu "=" khi (1,2,3) và hoán vị




#546564 P=$\frac{x^3y^3}{(x+yz)(y+xz)(z+xy)^2}$

Gửi bởi buiminhhieu trong 11-03-2015 - 18:01

Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0 & \\ x+y-z=-1 & \end{matrix}\right.$. Tìm max của:

P=$\frac{x^3y^3}{(x+yz)(y+xz)(z+xy)^2}$

Ta có

$x+y+1=z$ Thay vào BĐT

$P=\frac{x^{3}y^{3}}{(x+y)^{2}(x+1)^{3}(y+1)^{3}}\leq \frac{x^{3}y^{3}}{4xy.(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+1)^{3}(\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+1)^{3}}\leq \frac{x^{3}y^{3}}{4xy.27^{2}.\frac{x^{2}y^{2}}{16}}$

Ta đc Max




#546523 CM:$\sum \frac{x^{2}+yz}{y+z}...

Gửi bởi buiminhhieu trong 11-03-2015 - 12:06

Cho x,y,z là các số thực dương.CM

$\sum \frac{x^{2}+yz}{y+z}\geq x+y+z$

$\sum (\frac{x^{2}+yz}{y+z}+x)=\sum \frac{(x+y)(x+z)}{y+z}$

Lại có

$\frac{(x+y)(x+z)}{y+z}+\frac{(y+z)(x+z)}{x+y}\geq 2(x+z)$

CMTT được điều phải chứng minh




#546522 CM$\sum \sqrt{\frac{a+2b}{c}...

Gửi bởi buiminhhieu trong 11-03-2015 - 12:00

Cho a,b,c là 3 số không âm.CM$\sum \sqrt{\frac{a+2b}{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

sai đề r bạn ơi

cho $a=b=c=4$ sai đề




#540071 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^{3}b+b^{3}c+...

Gửi bởi buiminhhieu trong 09-01-2015 - 11:18

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a$.

Giả sử $a=Max{a,b,c}$ Xét $b\geq c$

Áp dụng BĐT Hoán vị :$\left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & \\ ab\geq ac\geq bc& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P\leq a^{3}b+ab^{2}c+ac^{3}=b(a^{3}+abc+c^{3})\leq b(a+c)^{3}=b(3-b)^{3}$

$=27.b.\frac{3-b}{3}.\frac{3-b}{3}.\frac{3-b}{3}\leq 27.(\frac{3}{4})^{4}=\frac{2187}{256}$

Dấu "=" khi $a=2,25;b=0,75;c=0$

Nếu$c\geq b$ ta chứng minh tương tự




#539934 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^{2}b+b^{2}c+...

Gửi bởi buiminhhieu trong 07-01-2015 - 06:52

Cho $a,b,c$ là các số thực dương sao cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

Áp Dụng BĐT

$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3}=a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=3$




#539893 $\sum \frac{1}{a}\geq \sum...

Gửi bởi buiminhhieu trong 06-01-2015 - 20:02

Cho a,b,c không âm, tổng bằng 3 CMR:

1. $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{a^{2}+2bc}+\frac{3}{b^{2}+2ac}+\frac{3}{c^{2}+2ab}$$

2.$$4-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq abc$$

$\sum \frac{3}{a}=\sum \frac{a+b+c}{a}=\sum (\frac{a^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{bc}+\frac{c^{2}}{bc})\geq \sum \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+2bc}$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \sum \frac{3}{a^{2}+2bc}$

Dấu "=" khi $a=b=c=1$




#539753 $\sum \frac{1}{a}\geq \sum...

Gửi bởi buiminhhieu trong 05-01-2015 - 18:35

Phân náy lá bất đẳng thức hoán vi. Ban tham khảo trong sách STBĐT trang 59.


#531463 $\sum \dfrac{1}{x^2+x+1}\ge 1$

Gửi bởi buiminhhieu trong 02-11-2014 - 08:55

1) Cho $a;b;c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Cmr:

$$ab^2+bc^2+ca^2\le 4$$

Nói cách khác, Cmr:

$$27(ab^2+bc^2+ca^2)\le 4 (a+b+c)^3$$

 

Lời giải của khanghaxuan là áp dụng bài toán tổng quát của BĐT hoán vị:

$\left\{\begin{matrix} a_{1}\geq b_{1}\geq c_{1} & \\ a_{2}\geq b_{2}\geq c_{2}& \end{matrix}\right.\Rightarrow a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\geq \sum a_{i}b_{i}$(BĐT hoán vị cùng chiều)(*)

vào bài toán này ta áp dụng BĐT (*) như sau:

W.L.O.G $a\geq b\geq c\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq b\geq c& \\ ab\geq ac\geq bc& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a^{2}b+abc+c^{2}b\geq b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c$

$a^{2}b+abc+c^{2}b=b(a^{2}+ac+c^{2})$

$=b((a+c)^{2}-ac)\leq b(3-b)^{2}\leq 4.(\frac{b+\frac{3-b}{2}+\frac{3-b}{2}}{3})^{3}=4$

 

2) Cho $a;b;c$ là các số thực không âm thỏa mãn $abc=1$. Cmr:

$$\dfrac{1}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{y^2+y+1}+\dfrac{1}{z^2+z+1}\ge 1$$

HD:

do $abc=1$ nên $\exists m,n,p\in \mathbb{N*}:a=\frac{mn}{p^{2}},b=\frac{np}{m^{2}},c=\frac{mp}{n^{2}}$




#530016 $x^{2}-y^{2}=\frac{15\sqrt{x...

Gửi bởi buiminhhieu trong 22-10-2014 - 19:51

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=\frac{15\sqrt{x}-17\sqrt{y}}{4\sqrt{xy}} & \\ x^{2}+14xy+y^{2}=\frac{17\sqrt{x}+15\sqrt{y}}{x+y}& \end{matrix}\right.$

Ad nào sửa hộ mình cái tiêu đề phát




#527137 Chứng minh rằng: $ac+bd-cd\leq \frac{9+6\sqrt{2...

Gửi bởi buiminhhieu trong 04-10-2014 - 17:38

Cho a,b,c,d là các số thực thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=1 & \\ c-d=3& \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:

$ac+bd-cd\leq \frac{9+6\sqrt{2}}{4}$




#523311 Hỏi BQT đặt sai tiêu đề của Huong TH Phan

Gửi bởi buiminhhieu trong 07-09-2014 - 17:19

Chết em nhìn nhầm thấy mỗi cái Học sinh giỏi và Olimpic tưởng bạn ý post nhầm Box

Em xin lỗi bạn  Huong TH Phan và anh LNH em sẽ rút kinh nghiệm




#518723 Cho $a,b\in R$ thỏa mãn $a^3+b^3=2$. CMR: $...

Gửi bởi buiminhhieu trong 10-08-2014 - 07:05

Ta có $(a^{2}+b^{2})^{2}=(a\sqrt{a}\sqrt{a}+b\sqrt{b}\sqrt{b})^{2}\leq (a^{3}+b^{3})(a+b)\leq (a^{3}+b^{3})\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

$\Rightarrow (a^{2}+b^{2})^{4}\leq (a^{3}+b^{3})^{2}.2(a^{2}+b^{2})$

Đến đây.......

Sai~

$a,b$ thuộc $R$ nên chưa chắc có $\sqrt{a};\sqrt{b}$