Đến nội dung

buiminhhieu

buiminhhieu

Đăng ký: 05-03-2013
Offline Đăng nhập: 12-07-2023 - 21:43
****-

#640491 Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

Gửi bởi buiminhhieu trong 15-06-2016 - 14:48

$59)\left\{\begin{matrix} x^{2}+3y\sqrt{\frac{x^{2}-1}{y}}=1+4y & \\ \sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x+y-x^{2}}=y& \end{matrix}\right.$

$60)\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x+y}+\sqrt{2x+7y} =10& \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{3x+y}})=2& \end{matrix}\right.$

$61)\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y}+y\sqrt{x}+2(x+y-xy)=4 & \\ x\sqrt{x^{2}+3xy}+y\sqrt{y^{2}+3xy}=4& \end{matrix}\right.$

$62)\left\{\begin{matrix} xy+6y\sqrt{x-1}+12y=4 & \\ \frac{xy}{1+y}+\frac{1}{xy+y}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}& \end{matrix}\right.$

$63)\left\{\begin{matrix} 9y^{2}(x+3y)=1-x^{3}y^{3} & \\ \sqrt{x^{2}+1}=y+2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

$64)(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}=x^{2}+7x+12$




#640486 $6)(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}=x^...

Gửi bởi buiminhhieu trong 15-06-2016 - 14:38

$1)\left\{\begin{matrix} x^{2}+3y\sqrt{\frac{x^{2}-1}{y}}=1+4y & \\ \sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x+y-x^{2}}=y& \end{matrix}\right.$

$2)\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x+y}+\sqrt{2x+7y} =10& \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{3x+y}})=2& \end{matrix}\right.$

$3)\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y}+y\sqrt{x}+2(x+y-xy)=4 & \\ x\sqrt{x^{2}+3xy}+y\sqrt{y^{2}+3xy}=4& \end{matrix}\right.$

$4)\left\{\begin{matrix} xy+6y\sqrt{x-1}+12y=4 & \\ \frac{xy}{1+y}+\frac{1}{xy+y}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}& \end{matrix}\right.$

$5)\left\{\begin{matrix} 9y^{2}(x+3y)=1-x^{3}y^{3} & \\ \sqrt{x^{2}+1}=y+2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

$6)(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}=x^{2}+7x+12$




#569250 Kì thi THPTQG 2015 - môn Toán

Gửi bởi buiminhhieu trong 01-07-2015 - 11:22

Câu 10:

$(a-1)(b-1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow (ab-a-b+1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow abc-ab-ac+a-bc+b+c-1\geq 0\Leftrightarrow abc\geq ab+bc+ac-5$

$(3-a)(3-b)(3-c)\geq 0\Leftrightarrow (9-3b-3a+ab)(3-c)\geq 0\Leftrightarrow 27-9c-9b-9a+3ac+3ab+3bc-abc\geq 0\Leftrightarrow 3ab+3bc+3ac\geq 27+abc\geq ab+bc+ac-5+27\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 11$

$P=\frac{\sum a^2b^2+12abc+72}{ab+bc+ac}-\frac{1}{2}abc\leq \frac{(ab+bc+ac)^2-12abc+12abc+72}{ab+bc+ac}-\frac{1}{2}(ab+bc+ac-5)=\frac{ab+bc+ac}{2}+\frac{72}{ab+bc+ac}+\frac{5}{2}=\frac{t}{2}+\frac{72}{t}+\frac{5}{2}(t=ab+bc+ac;t\geq 11)$

Ko bít có đúng ko còn đoạn cuối ai giải quyết nốt được ko

Nốt:

Ta có $t=ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=12\Rightarrow 11 \leq t\leq 12$

Xét $\frac{t}{2}+\frac{72}{t}+\frac{5}{2}-\frac{160}{11}=\frac{(11t-144)(t-11)}{22t}\leq 0$

$\Rightarrow Max=\frac{160}{11}$

Dấu "=" khi (1,2,3) và hoán vị




#546564 P=$\frac{x^3y^3}{(x+yz)(y+xz)(z+xy)^2}$

Gửi bởi buiminhhieu trong 11-03-2015 - 18:01

Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0 & \\ x+y-z=-1 & \end{matrix}\right.$. Tìm max của:

P=$\frac{x^3y^3}{(x+yz)(y+xz)(z+xy)^2}$

Ta có

$x+y+1=z$ Thay vào BĐT

$P=\frac{x^{3}y^{3}}{(x+y)^{2}(x+1)^{3}(y+1)^{3}}\leq \frac{x^{3}y^{3}}{4xy.(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+1)^{3}(\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+1)^{3}}\leq \frac{x^{3}y^{3}}{4xy.27^{2}.\frac{x^{2}y^{2}}{16}}$

Ta đc Max




#546523 CM:$\sum \frac{x^{2}+yz}{y+z}...

Gửi bởi buiminhhieu trong 11-03-2015 - 12:06

Cho x,y,z là các số thực dương.CM

$\sum \frac{x^{2}+yz}{y+z}\geq x+y+z$

$\sum (\frac{x^{2}+yz}{y+z}+x)=\sum \frac{(x+y)(x+z)}{y+z}$

Lại có

$\frac{(x+y)(x+z)}{y+z}+\frac{(y+z)(x+z)}{x+y}\geq 2(x+z)$

CMTT được điều phải chứng minh




#546522 CM$\sum \sqrt{\frac{a+2b}{c}...

Gửi bởi buiminhhieu trong 11-03-2015 - 12:00

Cho a,b,c là 3 số không âm.CM$\sum \sqrt{\frac{a+2b}{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

sai đề r bạn ơi

cho $a=b=c=4$ sai đề




#540071 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^{3}b+b^{3}c+...

Gửi bởi buiminhhieu trong 09-01-2015 - 11:18

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a$.

Giả sử $a=Max{a,b,c}$ Xét $b\geq c$

Áp dụng BĐT Hoán vị :$\left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & \\ ab\geq ac\geq bc& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P\leq a^{3}b+ab^{2}c+ac^{3}=b(a^{3}+abc+c^{3})\leq b(a+c)^{3}=b(3-b)^{3}$

$=27.b.\frac{3-b}{3}.\frac{3-b}{3}.\frac{3-b}{3}\leq 27.(\frac{3}{4})^{4}=\frac{2187}{256}$

Dấu "=" khi $a=2,25;b=0,75;c=0$

Nếu$c\geq b$ ta chứng minh tương tự




#539934 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^{2}b+b^{2}c+...

Gửi bởi buiminhhieu trong 07-01-2015 - 06:52

Cho $a,b,c$ là các số thực dương sao cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

Áp Dụng BĐT

$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3}=a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=3$




#539893 $\sum \frac{1}{a}\geq \sum...

Gửi bởi buiminhhieu trong 06-01-2015 - 20:02

Cho a,b,c không âm, tổng bằng 3 CMR:

1. $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{a^{2}+2bc}+\frac{3}{b^{2}+2ac}+\frac{3}{c^{2}+2ab}$$

2.$$4-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq abc$$

$\sum \frac{3}{a}=\sum \frac{a+b+c}{a}=\sum (\frac{a^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{bc}+\frac{c^{2}}{bc})\geq \sum \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+2bc}$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \sum \frac{3}{a^{2}+2bc}$

Dấu "=" khi $a=b=c=1$




#539753 $\sum \frac{1}{a}\geq \sum...

Gửi bởi buiminhhieu trong 05-01-2015 - 18:35

Phân náy lá bất đẳng thức hoán vi. Ban tham khảo trong sách STBĐT trang 59.


#531463 $\sum \dfrac{1}{x^2+x+1}\ge 1$

Gửi bởi buiminhhieu trong 02-11-2014 - 08:55

1) Cho $a;b;c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Cmr:

$$ab^2+bc^2+ca^2\le 4$$

Nói cách khác, Cmr:

$$27(ab^2+bc^2+ca^2)\le 4 (a+b+c)^3$$

 

Lời giải của khanghaxuan là áp dụng bài toán tổng quát của BĐT hoán vị:

$\left\{\begin{matrix} a_{1}\geq b_{1}\geq c_{1} & \\ a_{2}\geq b_{2}\geq c_{2}& \end{matrix}\right.\Rightarrow a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\geq \sum a_{i}b_{i}$(BĐT hoán vị cùng chiều)(*)

vào bài toán này ta áp dụng BĐT (*) như sau:

W.L.O.G $a\geq b\geq c\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq b\geq c& \\ ab\geq ac\geq bc& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a^{2}b+abc+c^{2}b\geq b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c$

$a^{2}b+abc+c^{2}b=b(a^{2}+ac+c^{2})$

$=b((a+c)^{2}-ac)\leq b(3-b)^{2}\leq 4.(\frac{b+\frac{3-b}{2}+\frac{3-b}{2}}{3})^{3}=4$

 

2) Cho $a;b;c$ là các số thực không âm thỏa mãn $abc=1$. Cmr:

$$\dfrac{1}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{y^2+y+1}+\dfrac{1}{z^2+z+1}\ge 1$$

HD:

do $abc=1$ nên $\exists m,n,p\in \mathbb{N*}:a=\frac{mn}{p^{2}},b=\frac{np}{m^{2}},c=\frac{mp}{n^{2}}$




#530016 $x^{2}-y^{2}=\frac{15\sqrt{x...

Gửi bởi buiminhhieu trong 22-10-2014 - 19:51

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=\frac{15\sqrt{x}-17\sqrt{y}}{4\sqrt{xy}} & \\ x^{2}+14xy+y^{2}=\frac{17\sqrt{x}+15\sqrt{y}}{x+y}& \end{matrix}\right.$

Ad nào sửa hộ mình cái tiêu đề phát




#527137 Chứng minh rằng: $ac+bd-cd\leq \frac{9+6\sqrt{2...

Gửi bởi buiminhhieu trong 04-10-2014 - 17:38

Cho a,b,c,d là các số thực thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=1 & \\ c-d=3& \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:

$ac+bd-cd\leq \frac{9+6\sqrt{2}}{4}$




#523311 Hỏi BQT đặt sai tiêu đề của Huong TH Phan

Gửi bởi buiminhhieu trong 07-09-2014 - 17:19

Chết em nhìn nhầm thấy mỗi cái Học sinh giỏi và Olimpic tưởng bạn ý post nhầm Box

Em xin lỗi bạn  Huong TH Phan và anh LNH em sẽ rút kinh nghiệm




#518723 Cho $a,b\in R$ thỏa mãn $a^3+b^3=2$. CMR: $...

Gửi bởi buiminhhieu trong 10-08-2014 - 07:05

Ta có $(a^{2}+b^{2})^{2}=(a\sqrt{a}\sqrt{a}+b\sqrt{b}\sqrt{b})^{2}\leq (a^{3}+b^{3})(a+b)\leq (a^{3}+b^{3})\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

$\Rightarrow (a^{2}+b^{2})^{4}\leq (a^{3}+b^{3})^{2}.2(a^{2}+b^{2})$

Đến đây.......

Sai~

$a,b$ thuộc $R$ nên chưa chắc có $\sqrt{a};\sqrt{b}$