Ngoc Hung

Giải phương trình $\frac{4x^{2}+10x+14}{x-1}+x+7=\sqrt{x^{2}-3x-1}$

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $x^{5}-y^{3}\geq 2x$. Chứng minh rằng $x^{3}\geq 2y$

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1

Chứng minh rằng $\sqrt{16a+9}+\sqrt{16b+9}+\sqrt{16c+9}\geq 11$

Cho các số thực $a,b,c>-\frac{1}{3}$. Chứng minh rằng $\frac{1+a^{2}}{1+3b+c^{2}}+\frac{1+b^{2}}{1+3c+a^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+3a+b^{2}}\geqslant \frac{6}{5}$

Giải phương trình $x^{2}+10x+5=7\sqrt{x^{2}+5x}$

Cho 3 số m, n, p thỏa mãn điều kiện $m^{2}+n^{2}=\frac{m^{2}}{n^{2}}+\frac{m^{2}}{p^{2}}=2$ và $\frac{p^{2}}{n^{2}}+\frac{p^{2}+n^{2}}{m^{2}}+\frac{n^{2}}{p^{2}}=4$

Tính giá trị của biểu thức $Q=m^{2}+n^{3}+p^{4}$

Cho a, b, c > 0. Tìm GTNN của $P=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2ab+bc+ca}$

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AD. Kẻ DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC (E thuộc AB, F thuộc AC)

            a) Chứng minh rằng tứ giác BCFE nội tiếp

            b) Gọi I là giao điểm của BF và CE, K là giao điểm của BF và DE, L là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng $\widehat{KEL}=\widehat{LFK}$ và KL song song với BC

            c) Qua B kẻ đường thẳng song song với đường thẳng DE cắt đường thẳng ID tại G. Chứng minh rằng ba điểm A, O, G thẳng hàng

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a+b+c\leq 3$.

Tìm GTLN của $P=\sqrt{1+a^{2}}+\sqrt{1+b^{2}}+\sqrt{1+c^{2}}+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}$