Ngoc Hung

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AD. Kẻ DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC (E thuộc AB, F thuộc AC)

            a) Chứng minh rằng tứ giác BCFE nội tiếp

            b) Gọi I là giao điểm của BF và CE, K là giao điểm của BF và DE, L là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng $\widehat{KEL}=\widehat{LFK}$ và KL song song với BC

            c) Qua B kẻ đường thẳng song song với đường thẳng DE cắt đường thẳng ID tại G. Chứng minh rằng ba điểm A, O, G thẳng hàng

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a+b+c\leq 3$.

Tìm GTLN của $P=\sqrt{1+a^{2}}+\sqrt{1+b^{2}}+\sqrt{1+c^{2}}+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}$

Cho x, y, z không âm thỏ mãn x + y + z = 4

Tìm GTNN và GTLN của $P=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}$

Xem đáp án tại ĐÂY nhé

Câu 3c. $O_{1}H$ và $O_{2}H$ là 2 tia phân giác của hai góc kề bù => $O_{1}H$ vuông góc với $O_{2}H$ . 
Có $\Delta HO_{1}M đồng dạng với \Delta CO_{2}H(g.g)$ => $\frac{O_{1}H}{O_{2}H}=\frac{MH}{CH}=\frac{MB}{MC}=>\Delta O_{1}HO_{2} đồng dạng với \Delta BMC$ => $\frac{S_{O_{1}HO_{2}}}{S_{BMC}}=(\frac{O_{2}H}{CM})^{2}$ Mà $\frac{O_{2}H}{CM}=\sqrt{2}\frac{CH+MH-CM}{CM}\leq \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2(MH^{2}+CH^{2})}-CM}{CM}=\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$ => $S_{O_{1}HO_{2}}\leq S_{BMC}2(\sqrt{2}-1)^{2}$ Mà $S_{BMC}=MH.\frac{BC}{2}=MH.R\leq R^{2}$. => $S_{O_{1}HO_{2}}\leq 2R^{2}(\sqrt{2}-1)^{2}$. Dấu "=" <=> M chính giữa cung BC

Em xem lại đề ra. Chu vi chứ không phải diện tích nhé

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}}=2018$

Tìm GTNN của $P=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}$

Cho $0< a,b,c\leq 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{3}{3+abc}$

Xem đáp án tại ĐÂY

IMG_20180322_161509.jpg

Em xem lại dấu "=" đi nhé. Bài giải có vấn đề ở chổ dấu "=" xảy ra

Cho a, b > 0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=\frac{1}{2}$. Chứng minh rằng $\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 6$

Cho a, b, c > 0 thỏ mãn a + 4b + 9c = 6. Tìm GTNN của $P=a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Xem đáp án tại ĐÂY

    SỞ GD & ĐT SƠN LA                                KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

              ---- o0o ----                                                          LỚP 9 NĂM HỌC 2017-2018

      ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                MÔN TOÁN

                                                                                            Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: 1) Cho biểu thức $P=\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+1$ 

            a) Rút gọn P                                        b) Biết 0 < x < 1, hãy so sánh P với $\left | P \right |$ 

            c) Tìm GTNN của P

            2) Cho $f(x)=\left ( 2x^{3}-21x-29 \right )^{2018}$. Tính f(x) tại $x=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}$ 

Câu 2: a) Giải phương trình $\sqrt{x-1}+\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}=1+\sqrt{x^{4}-1}$ 

            b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}\left ( 1+\frac{1}{x+y} \right ) =2& \\ \sqrt{7y}\left ( 1-\frac{1}{x+y} \right )=4\sqrt{2}& \end{matrix}\right.$ 

Câu 3: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$ 

            Chứng minh rằng $\frac{x}{x^{4}+1+2xy}+\frac{y}{y^{4}+1+2yz}+\frac{z}{z^{4}+1+2zx}\leq \frac{3}{4}$ 

Câu 4: a) Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, trên đoạn BH lấy điểm M và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho $\widehat{AMC}=\widehat{ANB}=90^{0}$. Chứng minh rằng AM = AN

            b)  Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm D, M, N (không trùng với các đỉnh của tam giác). Chứng minh rằng trong các tam giác AMN, BDN, CDM có ít nhất một tam giác mà diện tích không vượt quá  diện tích tam giác ABC

Câu 5: Trong một hình vuông có cạnh bằng 6, ta có một số các đường tròn có tổng chu vi bằng 2018. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 108 đường tròn trong chúng

SỞ GD & ĐT HÀ GIANG                                KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

             ---- o0o ----                                                              LỚP 9 NĂM HỌC 2017-2018

     ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                   MÔN TOÁN

                                                                                            Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: a) Cho $x=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$. Tính $A=\left ( x^{4}-x^{3}-x^{2}+2x-1 \right )^{2017}$

            b) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.

             Chứng minh rằng $A=\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}$ là bình phương của một số hữu tỉ

Câu 2: a) Giải phương trình $\frac{2x}{2x^{2}-5x+3}+\frac{13x}{2x^{2}+x+3}=6$ 

            b) Cho $P(x)=x^{2}+ax+b$ với a, b Î N. Biết P(1) = 2017. Tính $P(3)+P(-1)$ 

Câu 3: Tìm các số nguyên dương n sao cho $n^{4}+n^{3}+1$ là số chính phương

Câu 4: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\frac{b^{2}+c^{2}}{a}+\frac{c^{2}+a^{2}}{b}+\frac{a^{2}+b^{2}}{c}\geq 2(a+b+c)$ 

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AD (M khác A, D). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD

            a) Chứng minh rằng AH vuông góc với BH

            b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh rằng ba điểm H, N, I thẳng hàng