Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


phathuy

Đăng ký: 17-03-2013
Offline Đăng nhập: 27-05-2016 - 06:53
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Có bao nhiêu cách chia tập A gồm 6 phần tử thành 3 tập con rời nhau và kh...

27-06-2014 - 18:19

Mình xin diễn đạt lại bài toán cho rõ hơn: Có bao nhiêu cách chia tập X gồm 6 phần tử thành 3 tập con (không kể đến thứ tự)?


Trong chủ đề: Chứng minh rằng từ $0\to {{10}^{n}...

31-05-2014 - 22:19

Tớ đưa ra lời giải phức tạp hơn chút (bởi thế tớ mới hỏi xem có ai có cách ngắn hơn không)

Bổ đề: Từ $\overline{A\underbrace{00...0}_{n}}$ đến $\overline{A\underbrace{99...9}_{n}}$, có ${{9}^{n-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ n, với mọi số nguyên dương n và số tự nhiên A.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bước 1: Ta chứng minh bài toán đúng với n=1. Ta cần chứng minh. Từ $\overline{A0}$ đến $\overline{A9}$, có $1$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 ở hàng đơn vị. Xét hai trường hợp:
1) A chia hết cho 9. Dễ thấy chỉ có $1$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 ở hàng đơn vị là $\overline{A0}$.
2) A không chia hết cho 9. Dễ thấy chỉ có $1$ số chia hết cho 9 từ $\overline{A0}$ đến $\overline{A9}$ và số này không tận cùng là 9.
Bước 2: Giả sử bài toán đúng với n=k, tức là giả sử mệnh đề sau đúng: “Từ $\overline{A\underbrace{00...0}_{k}}$ đến $\overline{A\underbrace{99...9}_{k}}$, có ${{9}^{k-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k, với k là số nguyên dương và A là số tự nhiên.
Bước 3: Ta cần chứng minh bài toán đúng với n=k+1. Áp dụng giả thiết quy nạp ta có
Từ $\overline{A\underbrace{00...0}_{k}}$ đến $\overline{A0\underbrace{99...9}_{k}}$, có ${{9}^{k-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k.
Từ $\overline{A1\underbrace{00...0}_{k}}$ đến $\overline{A1\underbrace{99...9}_{k}}$, có ${{9}^{k-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k.

Từ $\overline{A8\underbrace{00...0}_{k}}$ đến $\overline{A8\underbrace{99...9}_{k}}$, có ${{9}^{k-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k.
Như vậy có ${{9}^{k-1}}.9={{9}^{k}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k từ $\overline{A\underbrace{00...0}_{k+1}}$ đến $\overline{A\underbrace{99...9}_{k+1}}$.
Vậy bổ đề được chứng minh xong.
Trở lại bài toán. Áp dụng bổ đề với A=0 ta có từ 0 đến $\underbrace{99...9}_{n}$ có ${{9}^{n-1}}$ số tự nhiên có không quá n chữ số chia hết cho 9 (tính luôn cả số 0) nhưng không chứa chữ số 9.


Trong chủ đề: Có bao nhiêu cách sắp xếp n cặp vợ chồng trên một bàn tròn sao cho mỗi ng...

27-05-2014 - 21:57

Đếm theo phương pháp bao gồm-loại trừ

Số cách xếp $2n$ người ($n$ cặp vợ chồng) lên một bàn tròn là $(2n-1)!$

Số cách xếp có ít nhất $k$ cặp vợ chồng ngồi gần nhau là $C_n^k\times 2^k \times (2n-1-k)! $

 

Vậy số cách xếp thỏa mãn là $S_n$

$$S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k 2^k C_n^k(2n-1-k)!$$

Tham khảo thêm về dãy số này ở đây: A129348

A129348 Sao không đọc được nhỉ? Tiện đây xin hỏi hxthanh "phương pháp bao gồm - loại trừ" là phương pháp như thế nào vậy? Bạn có thể nêu một cách tổng quát phương pháp này rồi cho một vài bài đơn giản ví dụ được không?


Trong chủ đề: Tìm thiết diện của mặt phẳng (MNP) với hình chóp.

27-05-2014 - 21:45

Điểm H có nằm trên các mặt của hình chóp đâu mà cậu lôi nó vào! Thiết diện phải là MQNFT (T là giao của AD và Px) chứ nhỉ.


Trong chủ đề: Có bao nhiêu cách sắp xếp n cặp vợ chồng trên một bàn tròn sao cho mỗi ng...

27-05-2014 - 21:32

 

Cho tập $S$ có $n$ phần tử thì số tập con của $S$ là $2^{n}$ (kể cả tập rỗng)

Bài toán trên chứng minh bằng nguyên lý quy nạp

Chứng minh:

Bước 1: $n=1\Rightarrow$ tập $S$ có $2$ tập con là chính nó và tập rỗng.

Bước 2: Giả sử $n=k$ thì số tập con của $S$ là $2^{k}$

Bước 3:Ta cần chứng minh với $n=k+1$ thì số tập con của $S$ là $2^{k+1}$

Đặt $A=\begin{Bmatrix} a_{1};a_{2};...;a_{k} \end{Bmatrix}$ và $B=\begin{Bmatrix} a_{1};a_{2};...;a_{k};a_{k+1} \end{Bmatrix}$

Do $A\subset B$ nên số tập con của B là:

     * Các tập con của A có $2^{k}$ tập

     * Các tập con của A thêm phần tử $a_{k+1}$ ta có: $2^{k}$ tập

Dẫn đến số tập con của tập có $k+1$ phấn tử là $2^{k+1}$ tập

Do đó số tâp con của tập có $n$ phần tử là $2^{n}$ tập

Vậy số tập con của tập có $n$ phần tử và khác rỗng là $2^{n}-1$ tập

 

 



 

Vậy mà sách Bài tập Tài liệu chuyên toán Giải tích 11 trang 140 dòng thứ 7 lại ghi: "Số các tập con thực sự và khác rỗng của một tập có n-1 phần tử là $2^{n-1}-2$".