Đến nội dung

phathuy

phathuy

Đăng ký: 17-03-2013
Offline Đăng nhập: 27-05-2016 - 06:53
-----

#494762 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS

Gửi bởi phathuy trong 23-04-2014 - 19:41

Mình có một số vấn đề về BĐT xin bạn giúp đỡ.

Câu 1: Trong cuốn sách Phương pháp giải toán BĐT và cực trị dành cho học sinh 8, 9

Cho 3 số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng

${{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}\ge 4\left( a+b+c \right)\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)$.

Lời giải của bài này trong cuốn sách như sau

Do vai trò của a, b, c có tính hoán vị vòng qubạn nên giả sử b nằm giữa a và c.

Nếu $a\ge b\ge c$ thì vế phải của BĐT âm, còn vế trái dương nên BĐT hiển nhiên.

Nếu $c\ge b\ge a$, ta có

$VP=4\left( a+b+c \right)\left( b-a \right)\left( c-b \right)\left( c-a \right)\le {{\left[ \left( a+b+c \right)\left( b-a \right)+\left( c-a \right)\left( c-b \right) \right]}^{2}}$

Ta chỉ cần chứng minh ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \left( a+b+c \right)\left( b-a \right)+\left( c-b \right)\left( c-a \right)$. BĐT này tương đương với $a\left( 2a+2c-b \right)\ge 0$, đúng do $c\ge b\ge a$.

Mình xin hỏi:”Tại sao lại tách và sử dụng BĐT như vầy

$VP=4\left( a+b+c \right)\left( b-a \right)\left( c-b \right)\left( c-a \right)\le {{\left[ \left( a+b+c \right)\left( b-a \right)+\left( c-a \right)\left( c-b \right) \right]}^{2}}$

Tác giả đã dự đoán dấu bằng ra sao mà lại nhóm như thế? Đã sử dụng kỹ năng nào?

Mình đã thử làm khác đi là: giả sử $a=\max \left\{ a,b,c \right\}$. Nếu $b\ge c$ thì BĐT hiển nhiên. Xét $c\ge b$, sau đó mình làm như sau

$VP=4\left( a+b+c \right)\left( a-c \right)\left( c-b \right)\left( a-b \right)\le {{\left[ \left( a+b+c \right)\left( a-c \right)+\left( a-b \right)\left( c-b \right) \right]}^{2}}$

Ta chỉ cần chứng minh ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \left( a+b+c \right)\left( a-c \right)+\left( a-b \right)\left( c-b \right)$. BĐT này tương đương với $c\left( 2c+2b-a \right)\ge 0$. Điều này là không chắc chắn.

Bạn hãy giải thích sai lầm của mình ở chỗ nào nhé.

Mình xin cảm ơn

Câu 2

Trong cuốn “Sáng tạo bất đẳng thức” có một bài toán thế này

“Chứng minh với mọi số thực dương a, b, c ta có

$\frac{{{a}^{3}}b}{1+a{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{3}}c}{1+b{{c}^{2}}}+\frac{{{c}^{3}}a}{1+c{{a}^{2}}}\ge \frac{abc\left( a+b+c \right)}{1+abc}$.

Lời giải như sau:

Với mọi số thực dương k, áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có

$\frac{{{a}^{2}}}{b+kc}+\frac{{{b}^{2}}}{c+ka}+\frac{{{c}^{2}}}{a+kb}\ge \frac{a+b+c}{k+1}$

Ta chọn $k=\frac{1}{abc}$ thì có được đpcm.”

Mình xin hỏi tại sao lại nghĩ đến BĐT $\frac{{{a}^{2}}}{b+kc}+\frac{{{b}^{2}}}{c+ka}+\frac{{{c}^{2}}}{a+kb}\ge \frac{a+b+c}{k+1}$, và chọn $k=\frac{1}{abc}$.

Câu 3:

Trên mathlinks.ro có bài toán sau:

“Cho các số thực dương a, b, c thỏa $3a+4b+6c\ge 42$. Chứng minh

$a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{6}{b}+\frac{8}{c}\ge \frac{29}{2}$.

Lời giải trên trang ấy là

BĐT đề bài tương đương $\frac{3{{\left( a-2 \right)}^{2}}}{4a}+\frac{2{{\left( b-3 \right)}^{2}}}{3b}+\frac{{{\left( c-4 \right)}^{2}}}{2c}+\frac{3a+4b+6c-42}{12}\ge 0$ (1) ”

hãy chỉ mình phương pháp tìm ra (1).

Mình sẽ rất vui nếu như bạn trả lời các câu hỏi của mình. 




#493743 $\frac{a+b}{b+c+d}+\frac{b+c}...

Gửi bởi phathuy trong 18-04-2014 - 19:38

Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh

$\frac{a+b}{b+c+d}+\frac{b+c}{c+d+a}+\frac{c+d}{d+a+b}+\frac{d+a}{a+b+c}\ge \frac{8}{3}$

Bạn có thể đưa ra cách ngắn nhất và đơn giản nhất cho bài toán này được không? Bài toán tổng quát của bài toán này là bài toán nào?




#488080 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+...

Gửi bởi phathuy trong 21-03-2014 - 16:32

Chứng minh rằng 491d399863d57c3194cec8dab8c2c0fc.png

với

1df92c8127cd66adfb1df41e1f30b563.png

Dạng đặc biệt thường xuyên sử dụng là gì? Các bạn có thể cho mình một số bài toán áp dụng?




#454336 số $3^{4^{5}}+4^{5^{6}}$ lu...

Gửi bởi phathuy trong 30-09-2013 - 21:34

Chứng minh số $3^{4^{5}}+4^{5^{6}}$ luôn viết được dưới dạng tích 2 số nguyên mà mỗi số lớn hơn $10^{2013}$.




#453026 Chứng minh $\frac{a}{b}x^{2}-2xy+...

Gửi bởi phathuy trong 25-09-2013 - 21:28

Cho a, b, x, y là các số thực (a và b khác 0). Chứng minh $\frac{a}{b}x^{2}-2xy+\frac{b}{a}y^{2}=\frac{1}{ab}\left ( bsin^{2}x- acos^{2}\right )^{2}$




#452774 Tìm max B biết...

Gửi bởi phathuy trong 24-09-2013 - 16:19

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B=x+z. Biết $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=9\\ z^{2}+t^{2}=16\\ xt+yz\geq 12 \end{matrix}\right.$




#452772 Tìm số nguyên lớn hơn 1 sao cho $n^{6}-1$ và $\...

Gửi bởi phathuy trong 24-09-2013 - 16:15

Bài 1: Có 11 tên cướp biển dở hữu 1 kho vàng. Chúng mua một số ổ khóa và chìa khóa sao cho cứ 6 người trở lên thì mở được cổng vào kho còn dưới 6 người thì không thể mở được. Hỏi chúng đã sắm bào nhiêu ổ khóa và bao nhiêu chìa khóa?

Bài 2: Tìm số nguyên lớn hơn 1 sao cho $n^{6}-1$ và $\left ( n^{3}-1 \right )\left ( n^{2} -1\right )$ có cùng ước số nguyên tố.

Mong mọi người trả lời sớm. Xin chân thành cám ơn.

 

 




#444814 $2\overrightarrow{MA}+(3-k)\overrightarrow{MB...

Gửi bởi phathuy trong 22-08-2013 - 21:35

Từ giả thiết bạn biến đổi thành $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+k\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ . Gọi I là tâm tỉ cự của hệ điểm {A;B} với hệ số tương ứng là {2;3}. Suy ra $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=5\overrightarrow{MI}\Rightarrow 5\overrightarrow{MI}+k\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$. Suy ra tập hợp điểm M là đường thằng đi qua I song song với BC.

Các câu còn lại bạn cứ làm theo cách này. 

 

 

 

 




#441684 Chứng minh định lý Wilson

Gửi bởi phathuy trong 10-08-2013 - 09:03

Bài 1: Định lý Wilson

Cho p là số nghuyên tố. Chứng minh (p-1)!+1 chia hết cho p.

Bài 2: Tìm m, n sao cho m+n+1 là số chính phương và mn+1 là lập phương đúng

 




#441485 Chứng minh $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ nếu $f$ l...

Gửi bởi phathuy trong 09-08-2013 - 15:12

Bài 1 xem lời giải trong "Bài tập tài liệu giáo khoa chuyên toán đại số 10" bài 67, chương 1. Bài 2: không hiểu. Nếu bạn hiểu thì giải thích cho mình luôn.

Nếu muốn hiểu được các lý thuyết của ánh xạ thì nên đọc tài liệu chuyên toán đại số 10. Đọc đi đọc lại. Các ví dụ, các bài tập minh họa, bạn nên cố gắng đọc thật kỹ và khoanh tròn những chỗ không hiểu để hôm sau suy nghĩ tiếp hoặc hỏi bạn bè. Mong rằng kinh nghiệm nhỏ của mình sẽ giúp bạn.




#437635 Mệnh đề chứa biến

Gửi bởi phathuy trong 23-07-2013 - 22:10

Cho X là tập hợp thanh niên Việt Nam, P(x), Q(x), R(x) là các mệnh đề chứa biến:

P(x): "x là nhà văn"

Q(x): "x có thu nhập thấp"

R(x): "x chưa tốt nghiệp trung học"

a) Hãy biểu diễn các mệnh đề sau bằng cách dùng các kí hiệu và phép toán lôgic

A: "Không có nhà văn nào có thu nhập thấp"

B: "Mọi người có thu nhập thấp đều chưa tốt nghiệp trung học"

C: "Không có nhà văn nào chưa tốt nghiệp trung học"

b) Nếu mệnh đề A, B đúng thì mệnh đề C có nhất thiết đúng hay không?

 

Câu a) mình đã làm được rồi nhưng câu b) thì mình không hiểu lời giải trong sách. Xin trích lời giải đó:

"Không nhất thiết. Vẫn có thể nhà văn chưa tốt nghiệp trung học vì A, B không loại trừ được khả năng những người có thu nhập cao chưa tốt nghiệp trung học". Lời giải thì dễ hiểu nhưng mình vẫn khoong hiểu tác giải đã sử dụng phương pháp gì để ra được. Mọi người giúp mình nhé!

 




#436248 chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào M

Gửi bởi phathuy trong 19-07-2013 - 19:29

Cho 4 điểm A, B, C, M chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào M

$f=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}\left ( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right )$


  • LNH yêu thích


#432097 Các đường thẳng đồng qui trong tứ giác nội ngoại tiếp

Gửi bởi phathuy trong 01-07-2013 - 17:56

Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp và ngoại tiếp được đường tròn. Gọi M, N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh MP, NQ, AC, BD đồng qui và MP vuông góc NQ. (Mình mới học lớp 9 thôi)

 




#430858 Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong TPHCM 2013-2014 (toán chuyên)

Gửi bởi phathuy trong 26-06-2013 - 21:27

 Xin đóng góp cách giải khác cho câu 1, ý 1:

$\left ( x\sqrt{2x-2}-x\right )+\left ( 6x-9\right )=0$. Sau đó dùng lượng liên hợp và rút 2x-3 làm nhân tử chung thì được

$\left ( 2x-3 \right )\left ( \frac{x}{\sqrt{2x-2}+1} +3\right )$. Dễ thấy nhân tử $\frac{x}{\sqrt{2x-2}+1} +3$ không thể có nghiệm vì x>0. Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất là x=1,5.

 Một cách khác cho bài BDT:

Đoán : dấu bằng xảy ra khi x=1/3, và y=2/3. Do đó chuyển 7 qua vế trái và biến đổi tương đương (nhớ là bám sát điều kiện xảy ra dấu =) được $=3\left ( 3x-1 \right )^{2}+\frac{2\left ( 3y-2 \right )^{2}}{y}$

 




#426848 Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2013-2014 (toán chuyên)

Gửi bởi phathuy trong 13-06-2013 - 17:15

Nhưng nếu $\frac{ab-cd}{a+b-c-d}=\frac{5}{3}$ thì sao?

Các bạn xem lời giải của mình có được không nhé!

Giả sử a+b+c+d là số nguyên tố. (1)

Ta có $3\left ( ab-cd \right )=\left ( a+b+c+d \right )\left ( a+b-c-d \right )\Rightarrow a+b-c-d=\frac{3\left ( ab-cd \right )}{a+b+c+d}\in \mathbb{Z}$

Từ (1) xảy ra 2 trường hợp sau:

TH1: $3\vdots a+b+c+d$ điều này vô lý vì a+b+c+d>3 (do a, b, c, d là các số nguyên dương)

TH2: $ab-cd\vdots a+b+c+d$ mà $ a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}+d^{2}-cd\Leftrightarrow ab-cd=\left ( c-d \right )^{2}-\left ( a-b \right )^{2}=\left ( c-d+a-b \right )\left ( c-d-a+b \right )$ nên $\left ( c-d+a-b \right )\left ( c-d-a+b \right )\vdots a+b+c+d\Rightarrow$ xảy ra 2 trường hợp:

th1:$c-d+a-b\vdots a+b+c+d\Rightarrow \left ( c-d+a-b\right )+\left ( a+b+c+d \right )\vdots a+b+c+d\Leftrightarrow 2\left ( c+a \right )\vdots a+b+c+d$. Do a+b+c+d là số nguyên tố nên 2 chia hết cho a+b+c+d hoặc a+c chia hết cho a+b+c+d. Dễ thấy điều này vô lý vì 2 và a+c đều nhỏ hơn a+b+c+d.

th2: c-d-a+b chia hết cho a+b+c+d. Chứng minh tương tự ta cũng được điều vô lý.

Suy ra đpcm.