phathuy

Cho a, b, c, >0 và a+b+c=1. Chứng minh $\frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}+\frac{19c^{3}-b^{3}}{bc+5c^{2}}+\frac{19a^{3}-c^{3}}{ac+5a^{2}}\leq 3$

 

Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trực tâm của tam giác ABC, BCD, CDA, DAB. Chứng minh MNPQ là tứ giác nội tiếp.

Giải phương trình

1)   $\sqrt{8x+1}+\sqrt{46-10x}=-x^{3}+5x^{2}+4x+1$

2)   $x^{2}+4\sqrt{x+3}=3x+6$

3)   $\left ( \sqrt{x^{2}+1} -x\right )^{5}+\left ( \sqrt{x^{2}+1} +x\right )^{5}=123$

Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm nguyên

$\left ( m-1 \right )x^{2}-2\left ( m^{2}+1 \right )x+\left ( m^{2}+m \right )=0$

Cho các số dương a, b, c thỏa abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=\frac{a}{a+b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{b+c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{c+a^{2}+b^{2}}$

 

 

Nếu giải như bạn thì sẽ không thoả điều kiện số có n chữ số phải không nào? Mình xin gợi ý cách giải của mình:

Dùng phương pháp quy nạp:

Bước 1: (bạn tự làm nhé)

Bước 2: (bạn tự làm nhé)

Bước 3: Gọi A là số có n chữ số chỉ toàn chữ số 1 và 2 mà chia hết cho $2^{n}$ (theo giải thiết quy nạp ta luôn tìm được số này)

Nếu $A\vdots 2^{n+1}$ xét số 2A (phải có gạch trên đầu nhưng mình không biết đánh, chú ý số này có n+1 chữ số và ta cần chứng minh nó chia hết cho $2^{k+1}$), ta có 2A = $2.10^{k}+A$ = $2^{k+1}.5^{k}+A\vdots 2^{k+1}$

Nếu A không chia hết cho $2^{k}$ mà $A\vdots 2^{k}\Rightarrow A=2^{k}.m$ với m là số tự nhiên lẻ. Xét số 1A (phải có gạch trên đầu nhưng mình không biết đánh, chú ý số này có n+1 chữ số và ta cần chứng minh nó chia hết cho $2^{k+1}$), ta có 1A = $10^{k}+A=2^{k}.5^{k}+2^{k}.m=2^{k}\left ( 5^{k}+m \right )\vdots 2^{k+1}$ (do $5^{k}+m$ chẵn).

Bước 4: kết luận (bạn tự làm nhé)

Hãy chứng minh bài toán con bướm dành cho đường thẳng bằng định lý Mê-nê-la-uýt:

Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Đường thẳng d đi qua I cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Đường thẳng d' (d' khác d) đi qua I cắt AB, AC lần lượt tại P, Q. Giả sử M, P nằm về một phía đối với BC và các đường thẳng MP, NQ lần lượt cắt BC tại E, F. Chứng minh IE=IF.

Cho $a\geq 2, b\geq 9, c\geq 1945, a+b+c=2000$. Tìm giá trị nhỏ nhất của abc.

Bài 62: Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x+y^{2}=z\left ( x^{2}y-1 \right )$

Bài 1: Chứng minh tồn tại một số gồm n chữ số chỉ gồm các số 1 và 2 sao cho nó chia hết cho $2^{n}$.

Bài 2: Tim n sao cho số 10101...101 với chữ số 0 và n+1 chữ số 1 nằm xen kẽ nhau là một số nguyên tố.

Cho các số x, y nguyên thỏa $\left | x \right |<1, \left | y \right |<1$. Chứng minh rằng $\left | x \right |+\left | y \right |\geq \left | \frac{x+y}{1+xy} \right |$