neversaynever99

Từ N hạ $NF\bot BC$ tại F; $NI\bot DE$ tại $I$

$\Rightarrow D,I,F,E$ thẳng hàng

Dễ dàng chứng minh được $\widehat{NDF}=\widehat{NBF}$

                                            $\widehat{NEF}=\widehat{NCF}$

$\Rightarrow \triangle NDE \sim \triangle NBC(g.g)$

$\Rightarrow \frac{DE}{MI}=\frac{BC}{MF}$

hay $\Rightarrow \frac{MF}{MI}=\frac{BC}{DE}\geq 1$

$\Rightarrow DE\leq BC$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow N\equiv J$( AJ là đường kính của (O))

Đặt $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=A$

$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=(x+y+z)(2-\frac{(x+y+z)^{2}-2}{2})$

Ta có $\left | A \right |=(x+y+z)(2-\frac{(x+y+z)^{2}-2}{2})$

Đặt $\left | x+y+z \right |=t$, suy ra $0< t\leq \sqrt{6}$

Ta có

$\left | A \right |=t(2-\frac{t^{2}-2}{2})=-\frac{t^{3}}{2}+t=-\frac{1}{2}(t-\sqrt{2})^{2}(t+2\sqrt{2})+2\sqrt{2}\leq 2\sqrt{2}$

Vậy $maxA=2\sqrt{2}$ khi $x=2; y=z=0$ & các hoán vị

       $minA=-2\sqrt{2}$ khi $x=-2; y=z=0$ & các hoán vị 

Ta có

$x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{zy}$     (1)

$y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{xz}$       (2)

$z-x=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x-y}{xy}$      (3)

Nhân vế với vế của (1);(2);(3) ta được 

$(x-y)(y-z)(z-x)=(x-y)(y-z)(z-x)\frac{1}{x^{2}y^{2}z^{2}}$

$(x-y)(y-z)(z-x)(1-\frac{1}{x^{2}y^{2}z^{2}})=0$

$\Rightarrow .......$

Do I là trung điểm của dây AB $\Rightarrow OI \bot  AB$.

Từ O hạ  $OH \bot CE; OK \bot DF$

Dễ chứng minh được $\triangle IEC \sim \triangle IDF$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{IE}{EC}=\frac{IF}{DF}$

$\Rightarrow \frac{IE}{EH}=\frac{IF}{DK}$

$\Rightarrow \triangle IEH \sim \triangle IDK (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{EHI}=\widehat{DKI}$    (1)

Mà $\widehat{EHI}=\widehat{MOI}$    (2)

      $\widehat{DKI}=\widehat{NOI}$    (3)

Từ (1);(2);(3) $\Rightarrow ...$

Bài này Cauchy ngược dấu thôi bạn 

Ta có

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \sum a-\sum \frac{ab^{2}}{2ab}=\sum a-\sum \frac{b}{2}=\frac{1}{2}\sum a=\frac{3}{2}$