neversaynever99

Câu 2:

a. Cho $\frac{x}{a+2b+c}=\frac{y}{2a+b-c}=\frac{z}{4a-4b+c}$

Chứng minh rằng:

$\frac{a}{x+2y+z}=\frac{b}{2x+y-z}=\frac{c}{4x-4y+z}$

b. Cho $a^{2012}+b^{2012}=a^{2013}+b^{2013}=a^{2014}+b^{2014}$. 

Tính A = $a^{2016}+b^{2016}$

a.Đặt $\frac{x}{a+2b+c}=\frac{y}{2a+b-c}=\frac{z}{4a-4b+c}=k$

$\Rightarrow \frac{x}{a+2b+c}=\frac{y}{2a+b-c}=\frac{z}{4a-4b+c}=k=\frac{2y}{4a+2b-2c}=\frac{x+2y+z}{9a}$

$\Rightarrow \frac{a}{x+2y+z}=\frac{1}{9k}$(1)

Chứng minh tương tự ta cũng có

$\Rightarrow \frac{b}{2x+y-z}=\frac{1}{9k}$ (2)

$\Rightarrow \frac{c}{4x-4y+z}=\frac{1}{9k}$ (3)

Từ (1),(2) & (3) ta có đpcm

b.

Nếu a=b=0 thì $a^{2016}+b^{2016}=0$

Nếu $a,b\neq 0$,ta có 

$a^{2014}+b^{2014}=(a+b)(a^{2013}+b^{2013})-ab(a^{2012}+b^{2012})$ (*)

Do $a^{2012}+b^{2012}=a^{2013}+b^{2013}=a^{2014}+b^{2014}$ nên ta có

$(*)\Leftrightarrow 1=a+b-ab$

$\Leftrightarrow (a-1)(1-b)=0$

$\Leftrightarrow a=b=1$

$\Rightarrow a^{2016}+b^{2016}=2$

Bài 1:

Giả sử $6n+5$ và $2n+1$ không là 2 số nguyên tố cùng nhau với mọi $n\in \mathbb{Z}$

Như vậy chúng phải có ước chung $d(\in \mathbb{Z})$

Do  $6n+5$ và $2n+1$ là các số lẻ nên d cũng là số lẻ 

Ta có $6n+5\vdots d$   (1)

          $2n+1\vdots d\Rightarrow 6n+3\vdots d$         (2)

Từ (1) & (2) $\Rightarrow 6n+5-(6n+3)\vdots d$

hay $2\vdots d$

Do d lẻ $\Rightarrow d=1$ hay $6n+5$ và $2n+1$ nguyên tố cùng nhau $\Rightarrow$ đpcm

Bài 3:

Ta có

 $\widehat{MAN}=90^{\circ}\Rightarrow\widehat{MAO}+\widehat{NAO'}=90^{\circ}$(1);$\Rightarrow \widehat{AMN}+\widehat{ANM}=90^{\circ}$

Từ (1) ta suy ra $\Rightarrow \widehat{OMA}+\widehat{O'NA}=90^{\circ}$

Do đó ta có

$\widehat{OMN}+\widehat{O'NM}=180^{\circ}$

mà 2 góc này lại ở vị trí trong cùng phía$\Rightarrow OM// O'N$

MN  cắt OO'  tại I $\Rightarrow \frac{O'N}{OM}=\frac{IO'}{IO}=\frac{R'}{R}$ (2)

BC cắt OO' tại I' $\Rightarrow \frac{O'C}{OB}=\frac{I'O'}{I'O}=\frac{R'}{R}$   (3)

Từ (2)& (3) $\Rightarrow \frac{IO'}{IO}=\frac{I'O'}{I'O}\Rightarrow \frac{IO'}{IO-IO'}=\frac{I'O'}{I'O-I'O'}$

hay  $\frac{IO'}{OO'}=\frac{I'O'}{OO'}$

$\Rightarrow I\equiv I'$

Từ đó suy ra MN,OO',BC đồng quy

b,

Từ O hạ OH vuông góc với OM tại H.

Ta có

$S_{MNOO'}=\frac{(O'N+OM)OH}{2}=\frac{(R+R')OH}{2}\leq \frac{(R+R')OO'}{2}=\frac{(R+R')^{2}}{2}$

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow OM\perp OO'$ 

Ta có

$P=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=(x+y+z)(1-xy-yz-zx)=(x+y+z)(1-\frac{(x+y+z)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}{2})=(x+y+z)(1-\frac{(x+y+z)^{2}-1}{2})=(x+y+z)(\frac{3}{2}-\frac{(x+y+z)^{2}}{2})$

Đến đây đặt $a=x+y+z$.Như thế ta có

$P=a(\frac{3}{2}-\frac{a^{2}}{2})=\frac{-1}{2}(a^{3}-3a+2)+1=\frac{-1}{2}(a-1)^{2}(a+2)+1\leq 1$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=1$ $\Rightarrow x=1;y=z=0$ và các hoán vị

Còn câu 2.2:(đa số các thí sinh bỏ)

Ta có

$f(1)=f(\frac{1}{2013}+\frac{2012}{2013})=f(\frac{1}{2013})+f(\frac{2012}{2013})=2f(\frac{1}{2013})+f(\frac{2011}{2013})=...=2011f(\frac{1}{2013})+f(\frac{2}{2013})=2013.f(\frac{1}{2013})$

$\Rightarrow f(\frac{1}{2013})=\frac{1}{2013}$

Tương tự ta có $\Rightarrow f(\frac{1}{2014})=\frac{1}{2014}$

Vậy $\Rightarrow f(\frac{2013}{2014})=f(1)-\frac{1}{2014}=\frac{2013}{2014}$

ĐK $0\leq x\leq 20$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-2)+(\sqrt[4]{20-x}-2)=0$

$\Leftrightarrow \frac{x-4}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{20-x}-4}{\sqrt[4]{20-x}+4}=0$

$\Leftrightarrow \frac{x-4}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+4}{(\sqrt[4]{20-x}+4)(\sqrt{20-x}+4)}=0$

Đến đây tìm được $x=4$ cái trong ngoặc thì dùng ĐK để chứng minh vô nghiệm

Có thể giải pt trên bằng pp đặt ẩn phụ(trong bài mình làm như vậy)

Đặt $\sqrt[4]{20-x}=a(a\geq 0)$

$\Rightarrow x=20-a^{4}$

pt đã cho tương đương với

$\sqrt{20-a^{4}}+a=4$

$\Leftrightarrow \sqrt{20-a^{4}}=4-a$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq a\leq 4 & \\ 20-a^{4}=16-8a+a^{2} & \end{matrix}\right.$

Lại có

$20-a^{4}=16-8a+a^{2}\Leftrightarrow a^{4}+a^{2}-8a-4=0\Leftrightarrow a^{4}-16+a^{2}-4a+4-4a+8=0$

Tới đây thì mọi việc trở nên đơn giản

Thời gian:120'

Bài 1:

1,Tính $A=\sqrt{14+6\sqrt{5}}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}$

2, Cho hpt

$\left\{\begin{matrix} (m-1)x -my=3m-1& \\2x-y=m+5 & \end{matrix}\right.$

a.Giải hệ khi m=2

b.Tìm đk của m để hệ có nghiêm duy nhất(x;y) sao cho x>0;y<0

Bài 2: 

1Trên mp tọa độ cho A(0;m+2);B(m-1;0).Biết  $AB=\sqrt{5}$.Tìm m

2.Cho hàm số F(x) sao $f(x)=f(a+b)=f(a)+f(b)$ với mọi a;b.Biết $f(1)=1$

Tính $f(\frac{1}{2013});f(\frac{2013}{2014})$

Bài 3:

1.Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $6x^{2}-5xy+25y^{2}-221=0$

2.Giải pt $\sqrt{x}+\sqrt[4]{20-x}=4$

Bài 4:

1.Cho (O;R) có 2 dây AC=BD cắt nhau tại 1 điểm I trong đường tròn(IA<IC;IB<ID)

a.Chứng minh rằng IO là phân giác của góc BID

b.Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang cân

c.Tìm vị trí của I để IA.IC max

2.Cmr tổng các góc ngoài của 1 đa giác luôn là 1 số không đổi

Bài 5:Cho a,b,c  dương thảo mãn  $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

CMR $a+b+c+ab+bc+ca\leq 1+\sqrt{3}$

............................................................................................................................................................

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$.Min

$A=\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{{y^{2}}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}$

Giải phương trình:

           1,$x^{3}+\frac{x^{3}}{(x-1)^{3}}+\frac{3x^{2}}{x-1}-2=0$

           2,$2.\sqrt[4]{27x^{2}+24x+\frac{28}{3}}=1+\sqrt{\frac{27x}{2}+6}$

           3,$(\sqrt{x^{2}+1}+x)^{5}+(\sqrt{x^{2}+1}-x)^{5}$(không có vế phải )

1,Ta có

$x^{3}+\frac{x^{3}}{(x-1)^{3}}+\frac{3x^{2}}{x-1}-2=0$

$\Leftrightarrow (x+\frac{x}{x-1})^{3}-3\frac{x^{2}}{x-1}(x+\frac{x}{x-1})+3\frac{x^{2}}{x-1}-2=0$

$\Leftrightarrow (\frac{x^{2}}{x-1})^{3}-3\frac{x^{2}}{x-1}.\frac{x^{2}}{x-1}+3\frac{x^{2}}{x-1}-2=0$

$\Leftrightarrow (\frac{x^{2}}{x-1})^{3}-3(\frac{x^{2}}{x-1})^{2}+3\frac{x^{2}}{x-1}-1=1$

$\Leftrightarrow (\frac{x^{2}}{x-1}-1)^{3}=1$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x-1}=2$

$\Leftrightarrow x^{2}-2x+2=0\rightarrow pt$ vô nghiệm

Giải phương trình 

$10x^{2}+3x+1=(6x+1)\sqrt{x^{2}+3}$ (1)

Ta có

$(1)\Leftrightarrow x^{2}+3-(6x+1)\sqrt{x^{2}+3}+9x^{2}+3x-2=0$

$\Leftrightarrow x^{2}+3 -(6x+1)\sqrt{x^{2}+3}+(3x+2)(3x-1)=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+3}=3x+2 \vee \sqrt{x^{2}+3}=3x-1$

Tới đây thì ngon rồi 

Bài này sử dụng phép nhóm Abel thôi!

Ta có

$D=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+2(\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})$

Ta chuyển về 2 bài toán 

$1,\left\{\begin{matrix} x\geq z\geq 1 & \\x+z\sqrt{3} \geq 2\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$

Tìm Max $A=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{z^{2}}$

$2,\left\{\begin{matrix} y\geq z\geq 1 & \\y\sqrt{3}+z\sqrt{10} \geq 2\sqrt{10} & \end{matrix}\right.$

Tìm Max $B=\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}$

Giải 1:

Ta có

$\frac{1}{3}+1=\frac{x^{2}}{3}.\frac{1}{x^{2}}+z^{2}.\frac{1}{z^{2}}=(\frac{1}{z^{2}}-\frac{1}{x^{2}}).\frac{z^{2}}{1}+(\frac{x^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{1})\frac{1}{x^{2}}$

Mặt khác ta có

$x+z\sqrt{3}\geq 2\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}+z\geq 2\Rightarrow 2(\frac{x^{2}}{3}+z^{2})\geq 4\Rightarrow \frac{x^{2}}{3}+z^{2}\geq 2$

Do vậy 

$\frac{1}{3}+1=(\frac{1}{z^{2}}-\frac{1}{x^{2}})\frac{z^{2}}{1}+(\frac{x^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{1})\frac{1}{x^{2}}\geq \frac{1}{z^{2}}-\frac{1}{x^{2}}+2.\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{z^{2}}(do :z\geq 1)$

Giải 2:Làm tương tự 1 ta có được

$\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\leq \frac{13}{10}$

Do đó $D=A+2B\leq \frac{4}{3}+2.\frac{13}{10}=\frac{59}{15}$

2b

$\left | 2x-x^{2}-1 \right |=2x-x^{2}-1$

$\Rightarrow 2x-x^{2}-1\geq 0$

$hay(x-1)^{2}\leq 0$

Từ đó suy ra x=1 là nghiệm của pt đã cho

Hoặc dùng AM-GM:

$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{16}{3x+3y+2z}$(1)

Tương tự 

$\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{16}{3z+3y+2x}$(2)

$\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{16}{3x+3z+2y}$(3)

Từ (1);(2)&(3) ta có

$16\sum \frac{1}{3x+3y+2z}\leq 4\sum \frac{1}{x+y}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{3x+3y+2z}\leq \frac{3}{2}$

Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn ab+bc+ca=3.Chứng minh rằng

$\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$

Giải 

Đặt $x+y=a;y+z=b;z+x=c(a,b,c>0)$

Khi đó ta có bdt cần chứng minh tương đương với

$\frac{c(a-b)}{b}+\frac{a(b-c)}{c}+\frac{b(c-a)}{a}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq a+b+c$(*)

Tới đây áp dụng bdt AM-GM ta có

$\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2b (1)$

Tương tự $\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 2c (2)$

$\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\geq 2b(3)$

cộng theo vế của (1);(2);(3) ta có đpcm