neversaynever99

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3 .Chứng minh rằng

$\frac{a^{2}}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

Bài 4 (Other solution)

Ta có

$\frac{3}{1^{2}.2^{2}}+\frac{5}{2^{2}.3^{2}}+\frac{7}{3^{2}.4^{2}}+...+\frac{4027}{2013^{2}.2014^{2}}=\frac{2^{2}-1^{2}}{1^{2}.2^{2}}+\frac{3^{2}-2^{2}}{3^{2}.2^{2}}+...+\frac{2014^{2}-2013^{3}}{2013^{2}.2014^{2}}=1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{2013^{2}}-\frac{1}{2014^{2}}=1-\frac{1}{2014^{2}}< 1$

Do x=0 không phải là nghiệm của pt nên ta có

$x^{4}-7x^{2}+1=0\Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$

Từ $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$ ta suy ra $x+\frac{1}{x}=3$

Ta có

$a^{3}+\frac{1}{a^{3}}=x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=(x+\frac{1}{x})(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-1)=18$

Không biết đúng không nữa!

Đặt $P=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+3ba}}$

$S=a(a^{2}+3bc)+b(b^{2}+3ca)+c(c^{2}+3ab)$

Thì theo BDT Holder ta có              $P^{2}.S\geq (a+b+c)^{3}$

Cần chứng minh $S\leq \frac{4}{9}(a+b+c)^{3}$

Hay $S=a^{3}+b^{3}+c^{3}+9abc\leq \frac{4}{9}(a+b+c)^{3}$  

$\Leftrightarrow 9(a^{3}+b^{3}+c^{3}+9abc)\leq 4(a+b+c)^{3}$

$\Leftrightarrow 12(a+b)(b+c)(c+a)\geq 5(a^{3}+b^{3}+c^{3})+81abc$

$\Leftrightarrow 12\left [ a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2} \right ]\geq 5(a^{3}+b^{3}+c^{3})-15abc\geq 0$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Cho a,b,c> 0 thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Tìm min

$A=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}$                   (Trích từ đề thi HSG Toán 9 tỉnh Hưng Yên)

Giải pt         $\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7}=\sqrt[4]{x+80}$

Sách  Để học tốt Đại số và Hình học 8 của các tác giả nổi tiếng Hoàng Chúng (Chủ biên), Nguyễn Vĩnh Cận, Vũ Thế Hựu. Bộ sách giúp rèn luyện óc suy luận và trí tưởng tượng thích hợp với học sinh khá, giỏi. Bộ sách hay dành cho học sinh và giáo viên tham khảo

Sau đây là file để các bạn download.Chúc các mem học lớp 8 của diễn đàn ta học tốt nhé!

12.Đặt $a=\sqrt[3]{x+1};b=\sqrt[3]{x+2}$ thì pt trên tương đương với

$a+b=1+ab$

$\Leftrightarrow (a-1)(1-b)=0$

Tới đây thì ngon rồi

Ta có

$4P=\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\leq 2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\leq 2.\frac{1}{4}.2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=2013$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow $a=b=c=\frac{1}{671}$

Ta có $a,b,c\in \mathbb{N}$

$\overline{abc}=98a+7b+2a+3b+c$

Do đó $\overline{abc}\vdots 7\Leftrightarrow 2a+3b+c\vdots 7$        (1)

Mà $a+b+c\vdots 7$               (2)

Từ (1) &(2) ta có

$2a+3b+c-2(a+b+c)\vdots 7$

$\Rightarrow b-c\vdots 7$(3)

Do a+b+c=7 mà  $a\neq 0$nên $\Rightarrow b+c< 7$ $\Rightarrow b-c< 7$(4)

Từ (3)&(4)$\Rightarrow b-c=0$ hay b=c

$\sqrt[3]{x-2} + \sqrt[3]{x-3}=\sqrt[3]{2x+3}$ (*)

Ta có

$(*)\Leftrightarrow x-2+x-3+3\sqrt[3]{(x-2).(x-3)}(\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{x-3})=2x+3$

$\Leftrightarrow 3\sqrt[3]{(x-2)(x-3)}.\sqrt[3]{2x+3}=8$

$\Leftrightarrow 27(x-3)(x-2)(2x+3)=512$

Tới đây bạn tự giải tiếp nhé

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng

$\frac{2a}{a^{2}+bc}+\frac{2b}{b^{2}+ca}+\frac{2c}{c^{2}+ab}\leq \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}$

1)Chứng minh rằng: S=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2010\sqrt{2009}}<\frac{88}{45}$

 

Ta có

$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n(n+1)}=\sqrt{n}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\sqrt{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}})=(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})< 2(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

Áp dụng ta có

$S< 2(1-\frac{1}{\sqrt{2010}})< 2(1-\frac{1}{\sqrt{2025}})=2(1-\frac{1}{45})=\frac{88}{45}$

Bài 8: ĐK:$-1\leq x\leq 1$

Đặt $a=1+x;b=1-x(a,b\geq 0)$

Ta có$\begin{matrix} a+b=2 & \\\sqrt[4]{ab}+\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}=3 & \end{matrix}$

Tới đây áp dụng AM-GM

$3=\sqrt[4]{ab}+\sqrt[4]a{+\sqrt[4]{b}}=\sqrt{\sqrt{a}.\sqrt{b}}+\sqrt{\sqrt{a}.1}+\sqrt{\sqrt{b}.1}\leq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}+\frac{\sqrt{a}+1}{2}+\frac{\sqrt{b}+1}{2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\leq \frac{1+a}{2}+\frac{1+b}{2}+1=3$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$

Từ đó tìm được x=0

Đóng góp cho topic thêm mấy bài tập về phương trình vô tỷ này:

6)$2x^{2}-11x+21=3\sqrt[3]{4x-4}$

7)$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+3}=0$

8)$\sqrt[4]{1-x^{2}}+\sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}=3$

9)$\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{2-x^{2}}}=2$

10)$\sqrt{4x-1}+\sqrt{4x^{2}-1}=1$

Các bạn giải ghi rõ ĐK nhé. Tối mình về sẽ post lời giải

Bài 7:Cách nhanh nhất là áp dụng bài toán phụ sau;

Với $a,b,c \in \mathbb{R}$ mà $a+b+c=0$ thì $a^{3}+b^{3}+c^{3}=0$

Giải ra được x=-2