Nguyen Huy Tuyen

Chỗ đó phải là : '' Trên tia đối của tia BM và CN'' chứ bạn.

 Mình nhầm, đúng là $BP=BN=CM=CQ$ mình sửa lại rồi đó !

Đặt $\frac{a}{b}=x,\frac{b}{c}=y,\frac{c}{a}=z$ Ta phải chứng minh :

$\sum \sqrt{x+\frac{1}{y}}\geqslant \sqrt{6(\sum \sqrt[3]{\frac{x}{z}})}$ với $x,y,z>0$ 

$\Leftrightarrow \sum (x+\frac{1}{z})+2\sum \sqrt{\frac{1}{yz}+yx+1+\frac{x}{z}}\geqslant 6(\sum \sqrt[3]{\frac{x}{z}})$
Ta có: $\sqrt{\frac{1}{yz}+yx+1+\frac{x}{z}}\geqslant \sqrt{1+\frac{x}{z}+2\sqrt{\frac{x}{z}}}=\sqrt{\frac{x}{z}}+1$

và $1+x+\frac{1}{z}\geqslant \sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{z}}+\sqrt{\frac{x}{z}}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{x}{z}}$
và $2\sqrt{\frac{x}{z}}+1\geqslant3\sqrt[3]{\frac{x}{z}}$ 
làm tương tự rồi cộng vào ta có điều phải chứng minh !!
 

Cho $x,y,z$ là các số dương. Chứng minh rằng

 

$\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$

Có: $\frac{x}{x}+\frac{x}{y}\geq \frac{4x}{x+y}\Leftrightarrow \frac{x}{y}+1\geq \frac{4x}{x+y}\Rightarrow 2(\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{x}{y}+3\geq \sum \frac{4x}{x+y}\Rightarrow (\sum \frac{x}{y})\geq \sum \frac{2x}{x+y}$

Tương tự với cái còn lại rồi suy ra ĐPCM.

Trường hợp sau không tương tự được đâu nha em. Em thử chứng minh xem

Hẳn là vậy, nhưng nó có thể dựa vào phần chứng minh trước ^^
Nếu $x\geqslant y\geqslant z$ Ta có :
$\sum \frac{x}{x+y}-\sum \frac{y}{x+y}=\frac{(x-y)(y-z)(x-z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geqslant 0$
Suy ra $\sum \frac{x}{y}\geq 2\max\left ( \sum \frac{x}{x+y},\sum \frac{y}{x+y} \right )$

Nếu $z\geqslant y\geqslant x$ Ta có:
$\sum \frac{x}{y}- 2\sum \frac{y}{x+y} =\sum \frac{(x-y)^2z}{xy(x+z)(y+z)}+\sum \frac{(x-y)(x-z)}{x(y+z)}$

Ta thấy $\sum \frac{(x-y)^2z}{xy(x+z)(y+z)}\geqslant 0$
Đồng thời  $\sum \frac{(x-y)(x-z)}{x(y+z)}=\frac{(z-x)(z-y)}{z(x+y)}+(y-x)(z(\frac{1}{x(y+z)}-\frac{1}{y(x+z)})+\frac{1}{x+z}-\frac{1}{y+z})\geqslant 0$
( Vì $z\geqslant y\geqslant x$ )

Ta cần chứng minh 

         $(a^2+b^2+c^2+2abc)(a^2+b^2+c^2)\geqslant 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2abc(a^2+b^2+c^2)\geqslant 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc $4$ ta có 

        $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geqslant \sum ab(a^2+b^2)\geqslant \sum 2a^2b^2$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

        $2abc(a^2+b^2+c^2)\geqslant abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geqslant a+b+c$

$\Leftrightarrow a+b+c+4abc\leqslant 2$

BĐT trên luôn đúng vì dễ dàng chứng minh được $a+b+c\leqslant \frac{3}{2},abc\leqslant \frac{1}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi $2a=2b=2c=1$

Bài này còn dấu bằng khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}} ,c=0$

Cho $m , n$ là hai số tự nhiên sao cho $\sqrt{7} - \frac{m}{n} > 0$ . Chứng minh rằng $\sqrt{7}n - m > \frac{1}{m}$

Bài toán này khá được ( từng làm mình đau đầu ) 

Tuy nhiên mình thử chứng minh như sau 

Viết lại giả thiết là 

                                                                         $\sqrt{7}n>m$

Ta sẽ chứng minh 

                                                                         $\sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}$

Ta chứng minh bằng quy nạp bài toán này .

Ta chứng minh quy nạp theo $n$

Trước hết ta chứng minh trong các số tự nhiên nhỏ hơn $\sqrt{7}n$ mà $m=max$ đúng thì nó đúng với mọi $m$ không lớn hơn nó .$(1)$

Ta chứng minh $m+\frac{1}{m}>m-1+\frac{1}{m-1}$

Thế nhưng bất đẳng thức này đúng , vậy $(1)$ được chứng minh 

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh đúng đến $n$ nào đó , ta chứng minh nó đúng với $n+1$ .

Nhân xét khi $n$ tăng $1$ đơn vị thì vế trái tăng $\sqrt{7}$ , mặt khác $2<\sqrt{7}<3$ nên ở đây $max=m+2$ 

Ta chứng minh :                                               $\sqrt{7}n+\sqrt{7}>m+2+\frac{1}{m+2}$

Nhưng theo giả thiết quy nạp ta đã có $\sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}>m+\frac{1}{m+2}$

Nên chỉ cần chứng minh $\sqrt{7}>2$ , hiển nhiên đúng 

Mình có cách này,m.n xem thế nào.

Theo giả thiết ta có:$7n^2>m^2$

vậy sẽ tồn tại số nguyên dương $x$ sao cho $7n^2=m^2+x$

Ta có $m^2$ chia 7 dư $0,1,2,4$ vậy $x$ chia 7 dư $0;6;5;3$

mà $x>0$ nên $Min(x)=3$ hay $7n^2\geqslant m^2+3>m^2+2+1/m^2=(m+1/m)^2$ 

suy ra $\sqrt{7}n>m+\frac{1}{m}\Leftrightarrow \sqrt{7}n-m> \frac{1}{m}$