Nguyen Huy Tuyen

Ngày thi 3

 

Bài 1: Cho dãy ($a_{n}$) thỏa mãn  $a_0=1$ và $a_{n+1}=\frac{-3}{7}(\sqrt{(a_n^2+1)^3}+a_n^3)$

CMR: $(a_n)$ hội tụ và tìm $lim(a_n)$

 

Bài 2: Tìm tất cả n nguyên dương sao cho $3^n+4^n+5^n\mid 60^n$

 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.

(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$

(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.

 

Bài 4: $x,y,z$ là 3 số nguyên dương sao cho $x+y+z=1$ Tìm giá trị lớn nhất của 

$P=\sqrt{\frac{x^2y}{4x+5y}}+\sqrt{\frac{y^2z}{4y+5z}}+\sqrt{\frac{z^2x}{4z+5x}}$

 

Ngày thi 4

 

Bài 1: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x-1)f(y^2)=y(xy)-yf(y)$ 

 

Bài 2: Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a_0=a_1=5\\ a_{n+1}=7a_n-a_{n-1}+44 \end{matrix}\right.$

CMR: $a_n$ là tổng 2 số chính phương 

 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ cắt đoạn $AC,AB$ tại $E,F$. $M,N$ đối xứng $B,C$ lần lượt qua $E,F$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(AMN)$ cắt $MN,BC$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $A$ là trung điểm của $PQ$

 

Bài 4: Cho bảng $n\times n$ $(n\in N^*)$ và số $k\leqslant n$ Điền vào các ô trong bảng $n\times n$ các số thực thuộc đoạn $[-1;1]$ sao cho tổng các số trên mỗi bảng con $k\times k$ bằng $0$. Tìm giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trên bảng $n\times n$

Ngày 1

Bài 1: Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} (4x-y^2)(x^2+2)=12x+1\\ (4y-z^2)(y^2+2)=12y+1\\ (4z-x^2)(z^2+2)=12z+1 \end{matrix}\right.$

 

Bài 2: Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn : 

$2^x+11=19^y$

 

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung $BC$ không chứa A lấy hai điểm $M,N$ sao cho $MN//BC$ ( Tia $AM$ nằm giữa tia $AB$ và tia $AN$ ). Trên tia $BM,CN$ lấy điểm $P,Q$ sao cho $BP=BN=CM=CQ$. Đường thẳng $AM,AN$ cắt đường thẳng $PQ$ lần lượt tại $S,T$. $BT,CS$ lần lượt cắt cạnh $CQ,BP$ tại $L,K$. Chứng minh rằng $AK=AL$

 

Bài 4: Cho tập hợp $A=\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \end{Bmatrix}$ Tìm số k lớn nhất sao cho có thể chọn được k tập con thỏa mãn hợp của 4 tập con bất kì không vượt quá 8 phần tử.

 

Ngày 2

 

Bài 1: Cho $a\in \begin{bmatrix} 0,1 \end{bmatrix}$ và dãy $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ thỏa mãn  $x_{1}=\frac{a+1}{4}$ và $x_{n+1}=x_{n}^{2}+\frac{a}{4}$.
       1. Chứng minh dãy  $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ hội tụ.

       2. Chứng minh rằng $x_{n}-b<\frac{1}{n}$ với $lim(x_{n})=b$

 

Bài 2: Tìm hàm $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn : 

$f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$

 

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$. Trung tuyến $AM$. Qua M kẻ đường thằng vuông góc với $BI,CI$ cắt $AB,AC$ tại $F,E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $\bigtriangleup MEF$ cắt cạnh $BC$ tại điểm D khác M. Lấy $S$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng qua $S$ song song với $OI$ tại $T$. Gọi $K,L$ lần lượt là đối xứng của $T$ qua $E,F$. Chứng minh rằng $CK,BL,ST$ đồng quy tại một điểm trên $(O)$

 

Bài 4: Cho tập hợp $S=\begin{Bmatrix} 1,2,3,.......,2014 \end{Bmatrix}$. Hỏi có bao nhiêu hàm $f:S\rightarrow S$ thỏa mãn $f(n)\leqslant n \vee n\in S$

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng :

$\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}\geqslant 3$

Cho $a,b,c\geqslant 0$ và $a^2+b^2+c^2=1$.Chứng minh rằng :

$1\leqslant \frac{a}{\sqrt{1+bc}}+\frac{b}{\sqrt{1+ac}}+\frac{c}{\sqrt{1+ab}}\leqslant \frac{3}{2}$

Cho $a,b\in N^*$ và $\frac{a}{b}< \sqrt{6}$ CMR:$\frac{a}{b}+\frac{1}{2ab}< \sqrt{6}$