kb1212

Bài toán này chỉ là trường hợp đặc biệt của bài toán sau:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ khác $B$ và $C$. Gọi $P$ là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng thẳng $AD$ khác $A$ và $D$. $BP$ cắt $AC$ tại $E$. $CP$ cắt $AB$ tại $F$ và $EF$ cắt $(O)$ tại $M,N$ sao cho $M$ gần $E$ hơn $F$. $MN, MP$ và $NP$ cắt $BC$ lần lược tại $R,S,T$. Khi đó $AR, SN$ và $TM$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$

chứng minh bài toán này như thế nào vậy bác, em chứng minh được 3 đường thẳng đồng qui rồi mà không chứng minh nó đồng qui trên đường tròn được

Chỉ được đồng nhất $2$ đa thức khi nó đúng với mọi giá trị của biến số.

-----------------------------------------------

Cộng $3$ phương trình của hệ cho ta : $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}=0$

Do là hệ hoán vị nên ta chỉ cần xét $2$ TH:

TH 1: $x> y> z$.

Từ $y>z\Rightarrow y^{3}> z^{3}\Rightarrow 3z^{2}-3x> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow 3(z^{2}-x^{2})> 3(x-y)> 0\Rightarrow z^{2}>x^{2}$

Kết hợp giả thiết ta có $0>x>z$.

Mặt khác lại có :$(y-1)^{3}=(1-x)^{3}+(1-z)^{3}> 0\Rightarrow y> 1> 0> x$ (Trái với điều giả sử)

Th 2:  $x> z> y$.

Tương tự :

 

$x> z\Leftrightarrow x^{3}> z^{3}\Rightarrow 3y^{2}-3z> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow y^{2}-x^{2}> z-y> 0\Rightarrow 0>x>y$

Mà $x>z>y$ nên $0>x>z>y$.Vậy nên $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}<0$.

Vậy ta có $x=y=z$.Thay vào giải được $x=y=z=1$.

bạn ơi nhìn kĩ lại cái hệ thấy nó có hoán vị vòng quanh đâu bạn. cộng 3 phương trình lại hình như không được $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}=0$

phương trình đầu tiên là 3y^3 các phương trình còn lại là 3z^2 và 3x^2 mà.

cho tui xin lời giải bài hệ pt với ! hướng giải thôi cũng được

cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi H, K là chân đường cao hạ từ I xuống AB, CD. chứng minh H, K, M, N đồng viên.

điểm I ở đâu vậy

xl mình sửa lại r

giúp mình với