trungtran

Ý tưởng: Quy nạp đi từ 2 người A B. Khi đó B sẽ không nhận đc đồng nào(Khi A đưa ra quyết định lấy cả 100 thỏi thì quyết định có hơn 50% phiếu). Với 3 người A B C, nếu A đưa ra qdinh lấy cả 100 thỏi thì sẽ bị B C từ chối. Khi đó B sẽ quyết định lấy cả 100 thỏi và C và A sẽ không nhận đc thỏi nào. Do đó A quyết định lấy 99 thỏi và chia C 1 thỏi. Khi đó C buộc phải đồng ý vì nếu từ chối C sẽ không nhận đc thoie nào. Lập luận tương tự ta sẽ có đc E sẽ nhận đc nhiều nhất 1 thỏi vàng

Thử lại y=-2 vẫn thỏa mãn mà 

Đặt -y = t. HPT tương đương  $$\left\{\begin{array}{l}x+t+z=4 \\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{5}{2}\\x^3+t^3+z^3=10\end{array}\right.$$

 

Từ $\frac{1}{x} + \frac{1}{t} + \frac{1}{z} = \frac{5}{2}$. Ta có $5xtz = 2(xt+tz+xz) \Leftrightarrow 30xtz=12(xt+tz+xz)$ (2)

Lại có: 

$x^3 + t^3 + z^3 - 3xtz = (x+t+z)(x^2+t^2+z^2-xt-tz-xz)$

$\Leftrightarrow 10 - 3xtz = 4[(x+t+z)^2 - 3(xy+tz+xz)]$

$\Leftrightarrow 10-3xtz = 4.4^2 - 12(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow 27xtz = 54$ ( 12(xt+tz+xz) = 30xtz theo (2) )

$\Leftrightarrow xtz = 2 \Rightarrow xt+tz+xz = 5$

Ta coi x,t,z là 3 nghiệm của phương trình $A^3 + M_{1}A^2 + M_{2}A + M_{3} = 0$ (*)

Với $ -M_{1} = x+t+z = 4 \Rightarrow M_{1} = -4$

$M_{2} = xt+tz+zx = 5$

$-M_{3} = xtz = 2 \Rightarrow M_{3}=-2$

Phương trình (*) trở thành : $A^3 - 4A^2 + 5A - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (A-2)(A-1)^2=0$

Do đó: (x;t;z) = (2;1;1) và các hoán vị của chúng

Vậy (x;y;z) = (2;-1;1) ; (1;-1;2) ; (1;-2;1)

Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm min của

1. A = $\frac{a+3c}{a+2b+c} + \frac{4b}{a+b+2c} - \frac{8c}{a+b+3c}$

 

2. B= $\frac{a^2}{b-1} + \frac{b^2}{2c-3} + \frac{c^2}{2a-1}$ ( với $a> \frac{1}{2} ; b> 1; c> \frac{3}{2}$)

Ai giải kỹ cho mình bài này được khôg...

Đặt $ \sqrt{2x^2 +7x+10} = a$ và $\sqrt{2x^2 +x+4} = b$ thì phương trình sẽ tương đương với $ a+b=\frac{a^2-b^2}{2}$

 

Câu 5:(1 đ)

Cho a,b thỏa mãn: $0\leq a,b\leq 2, a+b=3$ 

Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}\leq 5$

Đề này không khó, nhưng cũng hi vọng làm phong phú hơn kho tài liệu của diễn đàn ta.

Vì $0\leq a,b\leq 2$ nên $(a-1)(a-2) \leq 0$ và $(b-1)(b-2) \leq 0$

Cộng hai vế lại ta được $a^{2} + b^{2} -3(a+b) +4 \leq 0$

Hay $a^{2} + b^{2} \leq 5$

 

Không chắc lắm :\

Gọi số tự nhiên cần tìm là $\overline{ab}$

Theo đề, ta có:

$\overline{ab}^2-\overline{bc}^2=k^2$ $(k\in \mathbb{N})$

$\Longleftrightarrow 99(a^2-b^2)=k^2$

Do đó $a^2-b^2\ \vdots\ 99$

Mà $1\leq a^2 \leq 81$ và $-81\leq-b^2\leq -1$ nên $-80\leq a^2-b^2\leq 80$

Do đó $a^2-b^2=0\Longleftrightarrow a=b$

Vậy $\overline{ab}\in \left \{ 11\ ;\ 22\ ;\ 33\ ;\ 44\ ;\ 55\ ;\ 66\ ;\ 77\ ;\ 88\ ;\ 99 \right \}$

 

 

 

ĐK: $x,\ y \in \mathbb{Z}\ ;\ y>0$

Ta có:

$y=\sqrt{13+x^{2}-2x}$

$\Longleftrightarrow y^2=x^2-2x+1+12$

$\Longleftrightarrow y^2-(x-1)^2=12$

$\Longleftrightarrow (y-x+1)(y+x-1)=12$

Tới đây lập bảng xét rồi đối chiếu điều kiện.

Chú ý: $y-x+1$ và $y+x-1$ cùng tính chẵn lẻ vì $(y-x+1)+(y+x-1)=2x\ \vdots\ 2.$ 

 

 

 

 

Cái đoạn $a^{2} - b^{2}$ chia hết cho 11 thôi chứ ?

Bài này bạn nhân liên hợp ở cái $(x+\sqrt{x^{2}+2})(y+\sqrt{y^{2}+2})=2$ là đc x=y hoặc x=-y. Đến đây chắc dễ rồi