lovemath99

 

Câu $1$ không thể áp dụng tính chất hàm chẵn trong tích phân được mà phải áp dụng tính chất của hàm lẻ như sau:

Nếu $y=f\left ( x \right )$ là hàm lẻ và liên tục trên đoạn $\left [ -a;a \right ]$ thì

$$\int_{-a}^{a}f\left ( x \right )dx=0$$

Gợi ý.

$$I=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{5}+2x^{4}+3x+\sin x-\tan x}{x^{2}+1}dx=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{5}+2x^{4}+3x}{x^{2}+1}dx+\int_{-1}^{1}\dfrac{\sin x-\tan x}{x^{2}+1}dx=I_{1}+I_{2}$$

Tính $I_{1}$ bằng cách lấy tử chia cho mẫu là tính được còn $I_{2}$ thì chứng minh là hàm lẻ rồi áp dụng công thức trên là được.

Câu $2$ mình không nhớ rõ tính chất trên có suy ngược được không, tức là nếu

$$\int_{-a}^{a}f\left ( x \right )dx=0$$

thì $y=f\left ( x \right )$ là hàm lẻ và liên tục trên đoạn $\left [ -a;a \right ]$.

 

Chắc câu 1 mình chép nhầm đề chứ nó nằm trong phần bt vận dụng của cái tính chất kia. Còn câu 2 thì thật sự là nó bảo tính tích phân của hàm đó dựa vào cái tính chất bạn nêu ấy.

Mình nghĩ 2 bài này dùng pp tích phân từng phần là hiệu quả nhất rồi...

Uk, mình cũng đang học tích phân từng phần.

Ta tìm nguyên hàm rồi thay số:

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=\ln^2(x)\iff du=\frac{2\ln(x)}{x}\\dv=x^2\iff v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=\frac{2x^2.\ln^2(x)}{3}-\frac{2}{3}\int x^2.\ln(x)dx$

Tiếp tục đặt $u_0=\ln(x)\iff du_0=\frac{1}{x}$ và $dv_0=x^2\iff v=\frac{x^3}{3}$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=x^3\left (\frac{\ln^2(x)}{3}-\frac{2\ln(x)}{9}+\frac{2}{27}\right )\iff  \int_{1}^{e} x^2.\ln^2(x)dx=\frac{5e^3-2}{27}$

Mình cũng nghĩ ra cách này rồi nhưng không biết còn cách nào nhanh hơn không.

$\frac{t^2}{t^5-1}=\frac{4t^2}{4(t^5-1)}=\frac{A}{t-1}+\frac{Bt+C}{2t^2+(\sqrt{5}+1)t+2}+\frac{Dt+E}{2t^2-(\sqrt{5}-1)t+2}$

(trong đó $A,B,C,D,E$ là các hằng số)

Quy đồng và bỏ mẫu số :

$4t^2=4A(t^4+t^3+t^2+t+1)+(Bt+C)[2t^3-(\sqrt{5}+1)t^2+(\sqrt{5}+1)t-2]+(Dt+E)[2t^3+(\sqrt{5}-1)t^2-(\sqrt{5}-1)t-2]$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}20A=4\\4A+2B+2D=0\\4A+2C-(\sqrt{5}+1)B+(\sqrt{5}-1)D+2E=0\\4A+(\sqrt{5}+1)B-(\sqrt{5}+1)C-(\sqrt{5}-1)D+(\sqrt{5}-1)E=4\\4A-2C-2E=0 \end{matrix}\right.$

(Cho $t=1$ được phương trình đầu ; cân bằng hệ số được 4 phương trình sau)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=\frac{1}{5}\\B=\frac{\sqrt{5}-1}{5}\\C=\frac{1-\sqrt{5}}{5}\\D=\frac{-1-\sqrt{5}}{5}\\E=\frac{\sqrt{5}+1}{5} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{t^2}{t^5-1}=\frac{\frac{1}{5}}{t-1}+\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{5}t-\frac{\sqrt{5}-1}{5}}{2t^2+(\sqrt{5}+1)t+2}+\frac{\frac{-\sqrt{5}-1}{5}t+\frac{\sqrt{5}+1}{5}}{2t^2-(\sqrt{5}-1)t+2}$

$\int \frac{\frac{1}{5}\ dt}{t-1}=\frac{1}{5}\ln\left | t-1 \right |+C$

Còn nguyên hàm 2 cái sau thì đã có phương pháp ở đây :

http://diendantoanho...fracdxx2-7x-11/

Anh có thể xử lí bài này từ đầu theo hướng khác không để em tham khảo? Chứ e nghĩ nếu theo hướng đặt $t=\sqrt[12]{x}$ từ đầu giải quyết hơi lâu, kt 1 tiết hay thi đại học sợ time không đủ, cảm ơn.

Sao ở đây lại là số $3$ nhỉ? Mình biến đổi lại phương trình của bạn thì đâu thu được phương trình ban đầu đâu :-s

Mình nhân 3 cho cả 2 vế của phương trình rồi tách ra như thế để trục căn.