phamphucat

KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 11 THPT

Khóa ngày 18 - 03 - 2015

Bài 1: (6,0 điểm)

a) Cho phương trình; $\sin^2[ (x+1)y ]=\sin^2(xy)+sin^2[(x-1)y]$.

Tìm nghiệm $(x,y)$ để $(x+1)y,xy,(x-1)y$ là số đo các góc của một tam giác.

b) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x-3y^2x-3y+y^3=0 & \\ y-3x^2y-3x+x^3=0& \end{matrix}\right.$

Bài 2: (3,0 điểm)

Cho tập hợp $A$ có $n$ phần tử. Tính số cặp tập hợp (không kể thứ tự) không giao nhau từ các tập con của tập hợp $A$.

Bài 3: (3,5 điểm)

Cho số thực $a>2$. Đặt $f_n(x)=a^{10}x^{n+10}+x^n+x^{n-1}+...+x+1 (n=1,2,...).$ Chứng minh rằng với mỗi $n$, phương trình $f_n(x)=a$ có đúng một nghiệm $x_n \in (0,+\infty)$ và dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$.

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $xy$ là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại điểm $E$ thuộc cung $BC$ không chứa điểm $A$. Gọi $h_A,h_B,h_C$ lần lượt là khoảng các từ các đỉnh $A,B,C$ đến đường thẳng $xy$.

Chứng minh rằng: $\sqrt{h_A} \sin A = \sqrt{h_B} \sin B+\sqrt{h_C}  \sin C$ (với $A,B,C$ là các góc của tam giác $ABC$).

Bài 5: (4,0 điểm)

Cho tứ diện $ABCD$, M là một điểm thuộc miền trong tam giác $BCD$. Các đường thẳng qua $M$ song song với $AB,AC,AD$ lần lượt cắt các mặt phẳng $(ACD),(ABD),(ABC)$ tại $B_1,C_1,D_1$. Chứng minh rằng $AM$ đi qua trọng tâm tam giác $B_1C_1D_1$.

------------------------------------------Hết-------------------------------------

Câu 3a) $(a+b)c=ab$. Giả sử $a+b$ nguyên tố suy ra $c=abm$ suy ra $(a+b)m=1$. Tào lao! suy ra $đpcm$

Bài 1: (Dễ nhưng cũng làm cho vui)

a) Dễ dàng chứng minh $m>0$ khi đó tổng 2 nghiệm bằng $\frac{2m}{m^2+5}$ do $2m<m^2+5$ nên không thể là số nguyên.

b) Dễ thấy: $P<0$ nên $P-\sqrt{S}<0$ suy ra $P-\sqrt{S}=-2$. Để ý là $P=-3S$. Suy ra $S=\frac{4}{9}$. Cuối cùng được$m=2;m=\frac{5}{2}$

Chứng minh: $\frac{2}{3}\leq \frac{a(c-d)+3d}{b(d-c)+3c}\leq \frac{3}{2}$ biết $2 \leq a,b,c,d \leq 3$

Câu 3:đặt $t=\left | x_{1}-x_{2} \right |\Rightarrow t^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$

Lại có $PT\Leftrightarrow 4x^{2}+x(m-7)-m=0$

Theo định lí viete:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=\frac{7-m}{4} & \\ x_{1}x_{2}=\frac{-m}{4} & \end{matrix}\right.$

Do đó $t^{2}=\frac{m^{2}+2m+7}{16}=\frac{(m+1)^{2}+6}{16}\geq \frac{3}{8}$

Bạn bị sai rồi. GTNN phải là $\sqrt{3}$ mới đúng. Có vẻ bạn đã bị lộn dấu

Nháy vào hình để xem cho vừa nhé!

Cho (O) đường kính AB. Điểm C trên đường tròn, CH vuông góc với AB tại H. Gọi M là trong điểm của CH. Đường thẳng qua M vuông góc với OC cắt đường tròn (O) tại D và E. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (C).

Hình như xu hướng hiện nay là toán tuổi thơ thì phải. Chỉ giỏi đánh đố mà cũng chỉ thay số:

Bài 2:

$A=\frac{2012x+2013\sqrt{1-x^{2}}+2014}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$A=\frac{2013(x+1)+1-x}{\sqrt{1-x^2}}+2013$

$A\geq \frac{2\sqrt{2013(x+1)(1-x)}}{\sqrt{1-x^2}}+2013=2013+2\sqrt{2013}$

À ko,ý em muốn hỏi áp dụng vào bài ntn ấy?

Ta viết lại BĐT của "ảnh" cho dễ thay nhé!

$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) \leq xyz$. Ta thay: $x=a, y=\frac{1}{b}, z=1$ thì

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )\leq \frac{a}{b}$

Chia cả 2 vế cho $\frac{a}{b}$ ta được:

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )b\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )\frac{1}{a}\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )\frac{1}{a}\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )b\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}-1 \right )\left ( b+ab-1 \right )\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$ (Do $abc=1$)

Suy ra đpcm nhé

Bài này nếu lấy $y$ bình phương thì dễ thấy đẳng thức hơn và cũng tự nhiên ít mò hơn

1.Cho $0<a \leq b \leq c \leq 3, bc \leq 6, abc \leq 6$.Chứng minh $a+b+c \leq 6$

2. Cho 2 số thực $a,b$ thỏa mãn $a+b \geq 1, a>0$. Tìm GTNN của

$A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Đường cao $AH$, gọi $D$, $E$ lần lượt là giao điểm các đường phân giác của các tam giác $HAB$ và $HAC$. Đường thẳng $DE$ cắt 2 cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $\frac{MN}{BC}<\frac{\sqrt{2}}{2}$

Cho $x^2+y^2=x+y$. Tìm Min và Max của biểu thức $M=x-y$

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ có đường cao hạ từ $A$, đường phân giác hạ từ $C$ và đường trung tuyến hạ từ $B$ đồng quy. Đặt $BC=a,CA=b,AB=c$. Chứng minh: $(a+b)(a^2+b^2-c^2)=2a^2b$.

Bài 2: Cho tam giác $ABC$, O là một điển trong tam giác. BO cắt AC tại M và CO cắt AB tại N. Dựng các hình bình hành MONE và BOCF. Chứng minh A;E;F thẳng hàng.