phamphucat

KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 11 THPT

Khóa ngày 18 - 03 - 2015

Bài 1: (6,0 điểm)

a) Cho phương trình; $\sin^2[ (x+1)y ]=\sin^2(xy)+sin^2[(x-1)y]$.

Tìm nghiệm $(x,y)$ để $(x+1)y,xy,(x-1)y$ là số đo các góc của một tam giác.

b) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x-3y^2x-3y+y^3=0 & \\ y-3x^2y-3x+x^3=0& \end{matrix}\right.$

Bài 2: (3,0 điểm)

Cho tập hợp $A$ có $n$ phần tử. Tính số cặp tập hợp (không kể thứ tự) không giao nhau từ các tập con của tập hợp $A$.

Bài 3: (3,5 điểm)

Cho số thực $a>2$. Đặt $f_n(x)=a^{10}x^{n+10}+x^n+x^{n-1}+...+x+1 (n=1,2,...).$ Chứng minh rằng với mỗi $n$, phương trình $f_n(x)=a$ có đúng một nghiệm $x_n \in (0,+\infty)$ và dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$.

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $xy$ là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại điểm $E$ thuộc cung $BC$ không chứa điểm $A$. Gọi $h_A,h_B,h_C$ lần lượt là khoảng các từ các đỉnh $A,B,C$ đến đường thẳng $xy$.

Chứng minh rằng: $\sqrt{h_A} \sin A = \sqrt{h_B} \sin B+\sqrt{h_C}  \sin C$ (với $A,B,C$ là các góc của tam giác $ABC$).

Bài 5: (4,0 điểm)

Cho tứ diện $ABCD$, M là một điểm thuộc miền trong tam giác $BCD$. Các đường thẳng qua $M$ song song với $AB,AC,AD$ lần lượt cắt các mặt phẳng $(ACD),(ABD),(ABC)$ tại $B_1,C_1,D_1$. Chứng minh rằng $AM$ đi qua trọng tâm tam giác $B_1C_1D_1$.

------------------------------------------Hết-------------------------------------

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}$ với $a,b,c\geq1 $

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O), đường kính AD. Tiếp tuyến tại D cắt đường thẳng BC tại E. Tia EO cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh O là trung điểm của MN

Chứng minh: $\frac{2}{3}\leq \frac{a(c-d)+3d}{b(d-c)+3c}\leq \frac{3}{2}$ biết $2 \leq a,b,c,d \leq 3$