Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Huuduc921996

Đăng ký: 03-04-2013
Offline Đăng nhập: 04-04-2016 - 09:53
-----

#531361 Tìm Max $H=\frac{a}{5a+3b+3c}+\frac{b...

Gửi bởi Huuduc921996 trong 01-11-2014 - 12:59

Cho $a,b,c> 0$

Tìm Max $H=\frac{a}{5a+3b+3c}+\frac{b}{3a+5b+3c}+\frac{c}{3a+3b+5c}$.

$H=\frac{a}{5a+3b+3c}+\frac{b}{3a+5b+3c}+\frac{c}{3a+3b+5c}\\ \Leftrightarrow 2H=\frac{2a}{5a+3b+3c}+\frac{2b}{3a+5b+3c}+\frac{2c}{3a+3b+5c}\\=3-3(a+b+c)(\frac{1}{5a+3b+3c}+\frac{1}{3a+5b+3c}+\frac{1}{3a+3b+5c})\\\leq 3-3(a+b+c).\frac{9}{11(a+b+c)}=\frac{6}{11}\\ \Rightarrow H\leq \frac{3}{11}$




#509159 Giải phương trình: $2x\left ( \sqrt {x^{2}+1}-1\right )=...

Gửi bởi Huuduc921996 trong 26-06-2014 - 11:09

Dễ thấy x>0 là điều kiện có nghiệm của pt.

Xét x>0

$2x\left ( \sqrt {x^{2}+1}-1\right )=\sqrt{3x^{2}+3}\\ \Leftrightarrow2(\sqrt {x^{2}+1}-1)=\sqrt{3+\frac{3}{x^2}}$

Đặt $t= x^2> 0$

$ \Rightarrow 2(\sqrt{t+1}-2)=\sqrt{3+\frac{3}{t}}-2\\ \Leftrightarrow 2\frac{t-3}{\sqrt{t+1}+2}=\frac{3-t}{t\sqrt{3+\frac{3}{t}}}\\ \Leftrightarrow t=3\Rightarrow x=\sqrt{3}$




#508701 $1/2{({x^2} + x - 1)^2} + 2{x^2} + 2x = 3 + \sqrt {5 + 4x} $

Gửi bởi Huuduc921996 trong 23-06-2014 - 23:55

$1/2{({x^2} + x - 1)^2} + 2{x^2} + 2x = 3 + \sqrt {5 + 4x} $

$2/2\sqrt[3]{{{x^3} + 7}} + 1 = \sqrt {1 + 16x + 8{x^2}} $

$3/(2 - x)\sqrt {1 + x}  + (2 + x)\sqrt {1 - x}  + \frac{{16}}{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} = 12$

 

MOD: Chú ý tiêu đề

2) Đặt $\sqrt {1 + 16x + 8{x^2}}-1=y$

Ta được: 

$\left\{\begin{matrix} 8x^3+56=y^3\\ 8x^2+16x+1=(y+1)^2 \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8(x^3+8)=y^3+8\\ 8(6x^2+12x)=6y^2+12y \end{matrix}\right.\\ \Rightarrow 8(x+2)^3=(y+2)^3\\ \Leftrightarrow 2(x+2)=y+2\\ \Leftrightarrow y=2x+2\\ \Rightarrow 8x^2+16x=(2x+2)^2+2(2x+2)\\ \Leftrightarrow 8(x+1)^2-8=4(x+1)^2+4(x+1)\\ \Leftrightarrow (x+1)^2-(x+1)-2=0\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-2\\ x=1 \end{bmatrix}$

Thử lại thấy x=1 là nghiệm của phương trình




#508696 $\frac{(1+x^2)^3}{6x^5-20x^3+6x}=\sqrt...

Gửi bởi Huuduc921996 trong 23-06-2014 - 23:18

Bài 2 đặt tới đặt lui không ra, nghĩ đi nghĩ lại bình phương thì nó cũng chỉ lên tới... bậc 4, bài này lại có nghiệm đẹp, chắc giải = Ferrari ổn luôn=))

Ai có cách khác đỡ trâu hơn k ạ :D

 

Giải phương trình

 

1,$\frac{(1+x^2)^3}{6x^5-20x^3+6x}=\sqrt{1+x^2}$

 

2,$x+\frac{3x}{\sqrt{25x^2-9}}=\frac{7}{4}$

2, Điều kiện: $\begin{bmatrix} x> \frac{3}{5}\\ x< \frac{-3}{5} \end{bmatrix}$

Thấy $x< \frac{-3}{5}$ không là nghiệm của phương trình

Xét $x> \frac{3}{5}$, ta có:

$x+\frac{3x}{\sqrt{25x^2-9}}=\frac{7}{4}\\ \Leftrightarrow x^2+\frac{9x^2}{25x^2-9}+\frac{6x^2}{\sqrt{25x^2-9}}=\frac{49}{16}\\ \frac{25x^4}{25x^2-9}+\frac{6x^2}{\sqrt{25x^2-9}}-\frac{49}{16}=0$

Cách trâu bò này thì sao nhỉ?  :icon6:  :icon6:  :icon6:




#505600 giải pt: \frac{2^x}{4^x+1}+\frac{4^x}...

Gửi bởi Huuduc921996 trong 10-06-2014 - 21:07

Sử dụng bất đẳng thức vào đánh giá là xong.

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{2}(dung theo cosi)$




#502494 $\left\{\begin{matrix} (x+1)^{3}+(x+1)y^{2}=2y &...

Gửi bởi Huuduc921996 trong 29-05-2014 - 17:51

Mình nghĩ là mình phân tích ko sai, nhưng sao chứng minh phương trình bậc 3 đó vô nghiệm được hả bạn?
mình dùng cái này http://www.wolframal...^3+3x^2+6x+4=0 
tính được nghiệm của phương trình bậc 3 trong ngoặc là  $\frac{1}{3}\left ( -1+\sqrt[3]{5}-5^{\frac{2}{3}} \right )$
Bạn chỉ rõ giúp mình được ko.
Cảm ơn nhiều.

Mình sẽ chứng minh:

Ta có: $a^3+ab^2=2b$

$\Rightarrow a^2+b^2=\frac{2b}{a}> 0$

nên phương trình bậc 3 đó vô nghiệm




#502486 $2(x-2)(\sqrt[3]{4x-4}+\sqrt{2x-2})=3x-1...

Gửi bởi Huuduc921996 trong 29-05-2014 - 17:34

Bai này minh sẽ làm cách khác mà không dùng AM-GM....

ĐK...

Vì $x=2$ khoongh là nghiệm nên PT$\Leftrightarrow \sqrt[3]{4x-4}+\sqrt{2x-2}=\frac{3x-1}{2x-2}$

Rõ ràng là Vế Trái đồng biến còn Vế phải nghịch biến

Cho nên PT có nghệm duy nhất !!!

Và duy nhất đó là $x=3$

Bài này cũng có thể k dùng đạo hàm như sau:

Đặt $t=\sqrt[6]{32(x-1)}\geq 0\\ \Rightarrow PT \Leftrightarrow 2.(\frac{t^6}{32}-1)(\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{4})=3\frac{t^6}{32}+2\\\Leftrightarrow (t^6-32)(2t^2+t^3)=6t^6+128\\ \Leftrightarrow t^9+2t^8-6t^6-32t^3-64t^2-128=0\\ \Leftrightarrow (t-2)(t^8+4t^7+8t^6+10t^5+20t^4+40t^3+48t^2+32t+64)=0\\ \Leftrightarrow t=2$




#502230 P=$\frac{a}{2a+3b}+\frac{b}...

Gửi bởi Huuduc921996 trong 28-05-2014 - 17:13

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ: Với mọi $ab\geq 1$ thì

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - b)}^2}(ab - 1)}}{{(1 + {a^2})(1 + {b^2})(1 + ab)}} \ge 0 \end{array}$(Đúng với ab$\geq$1)

Đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}\Rightarrow xyz=1$

Từ điều kiện bài toán ta dễ dàng có: $\frac{1}{4}\leq x\leq 1\Rightarrow 1\leq \sqrt{yz}\leq 2$

Khi đó: $P=\frac{1}{2+3x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{1}{2+3x}+\frac{2}{1+\sqrt{yz}}= \frac{1}{2+3x}+\frac{2\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$

Đến đây khảo sát hàm số là xong.(Đây là Đề thi Đại Học khối A-2011)




#502213 Tìm GTNN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Gửi bởi Huuduc921996 trong 28-05-2014 - 16:26

Ta có: $1=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}-ab-bc-ac\right )$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+b+c=x> 0\\ a^2+b^2+c^2=P>0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x(3P-x^2)=2\Leftrightarrow x^3-3Px+2=0$

Xét $f(x)=x^3-3Px+2\\ f'(x)=3x^2-3P\\ f'(x)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-\sqrt{P}\\ x=\sqrt{P} \end{bmatrix}\\$

Lập bảng biến thiên $\Rightarrow 0=f(x)\geq f(\sqrt{P})=2-2P\sqrt{P} \Leftrightarrow P\geq 1$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{P}\\ x^3-3Px+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2=P=1\Leftrightarrow (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2=1\Leftrightarrow a=1;b=0;c=0$ và các hoán vị




#502081 CMR $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac...

Gửi bởi Huuduc921996 trong 27-05-2014 - 23:46

Cho a, b, c từng đôi một khác nhau và $0\leq a,b,c\leq 2$. CMR $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq \frac{9}{4}$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $0\leq c< b< a\leq 2$

Ta có: 

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{(a-b)(b-c)} = \frac{8}{4(a-b)(b-c)}\geq \frac{8}{(a-b+b-c)^2}= \frac{8}{(a-c)^2}$

Giờ ta chỉ cần chứng minh $\frac{9}{(a-c)^2}\geq \frac{9}{4}$

điều này $\Leftrightarrow a-c\leq 2$ (luôn đúng với điều giả sử)

Dấu "=" xảy ra khi a=2; b=1; c=0 và các hoán vị




#500818 $16x^{4}+5=6\sqrt[3]{4x^{3}+x}$

Gửi bởi Huuduc921996 trong 22-05-2014 - 20:58

Giải phương trình:

$16x^{4}+5=6\sqrt[3]{4x^{3}+x}$

Nhẩm thấy x=0.5 là nghiệm nên ta có đánh giá sau:

$6\sqrt[3]{4x^{3}+x}=3.\sqrt[3]{2.4x(4x^2+1)}\leq 4x^2+4x+3$

$\Rightarrow 4x^2+4x+3\geq 16x^4+5\\ \Leftrightarrow 16x^2-8x^2+1+4x^2-4x+1\leq 0\\ \Leftrightarrow (4x^2-1)^2+(2x-1)^2\leq 0\\ \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$




#492576 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Phương trình vô tỉ - Hệ phương...

Gửi bởi Huuduc921996 trong 13-04-2014 - 00:08

Bài 155:

$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2-4x=-1\\ x^3+2x^2y+xy^2-2y^2-7x=2 \end{matrix}\right.$

Cách khác nè:

+ Thấy x=0 không là nghiệm của hệ.

+ Xét x$\neq$0, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2-4x=-1\\ x^3+2x^2y+xy^2-2y^2-7x=2 \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(x+y)+y^2+1=4x\\ x(x+y)^2-2(y^2+1)=7x \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)+\frac{y^2+1}{x}=4\\ (x+y)^2-2\frac{y^2+1}{x}=7 \end{matrix}\right.$




#491010 $\left\{\begin{matrix}x^{2}(y+1)...

Gửi bởi Huuduc921996 trong 06-04-2014 - 11:19

Giải hệ : $\left\{\begin{matrix}x^{2}(y+1)=6y-2 \\ x^{4}y^{2}+2x^{2}y^{2}+y(x^{2}+1)=12y^{2}-1 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x^{2}(y+1)=6y-2 \\ x^{4}y^{2}+2x^{2}y^{2}+y(x^{2}+1)=12y^{2}-1 \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2y+y+2+x^2=7y\\ (x^2y+y)^2+x^2y+y+1=13y^2 \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^2y+y+1)+(x^2+1)=7y\\ (x^2+y+1)^2-(x^2y+y)=13y^2 \end{matrix}\right.$

Thấy y=0 không là nghiệm

Xét y$\neq$0, ta có:

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2y+y+1}{y}+\frac{x^2+1}{y}=7\\ (\frac{x^2y+y+1}{y})^2-\frac{x^2+1}{y}=13 \end{matrix}\right.$

Đến đây chắc là ra rồi.




#490094 Giải phương trình: $(x^{2}+9)(x^{2}+9x)=22(x-1)^...

Gửi bởi Huuduc921996 trong 01-04-2014 - 21:45

Giải phương trình:

$(x^{2}+9)(x^{2}+9x)=22(x-1)^{2}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x^2+9=u\\ x^2+9x=v \end{matrix}\right.\Rightarrow x-1=\frac{v-u}{9}$

Đến đây giải pt đẳng cấp bậc 2 với u và v là xong




#490091 Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^...

Gửi bởi Huuduc921996 trong 01-04-2014 - 21:41

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{y^{2}+2y-4}=1 (1)& \\ \sqrt{x^{2}+9}+y=5(2)& \end{matrix}\right.\\ (2)\Leftrightarrow \sqrt{x^2+9}=5-y\Rightarrow x^2+9=25-10y+y^2\\ (1)\Rightarrow \sqrt{y^2-10y+20}+\sqrt{y^{2}+2y-4}=1\\ \Rightarrow -12y+24=\sqrt{y^2-10y+20}-\sqrt{y^{2}+2y-4}\\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{y^2-10y+20}+\sqrt{y^{2}+2y-4}=1\\ \sqrt{y^2-10y+20}-\sqrt{y^{2}+2y-4}=-12y+24 \end{matrix}\right.$

Hệ này thì cộng vế là xong rồi. Nhớ thử lại nghiệm nhé vì có pt hệ quả