Huuduc921996

Giải các bất phương trình sau:

 

1)$|x-1|\sqrt{x}+|x|\sqrt{1-x}\leq 1$

ĐK: $0\leq x\leq 1$

PT$\Leftrightarrow (1-x)\sqrt{x}+x\sqrt{1-x}\leq 1\\ \Leftrightarrow \sqrt{1-x}\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})\leq 1$

Mặt $\neq$

$\sqrt{x}\sqrt{1-x}\leq \frac{1-x+x}{2}=\frac{1}{2}$

$(\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-x})^2\leq (\frac{1}{2}+\frac{1}{2})(1-x+x)=1\\ \Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{1-x}\leq \sqrt{2}$

$\Rightarrow VT\leq \frac{1}{\sqrt{2}}< 1=VP$

Vậy bắt phương trình tập nghiệm $S= (0;1)$

$x^{4}-x^{2}+3x+5-2\sqrt{x+2}=0$

DK: $x\geq-2$

$x^{4}-x^{2}+3x+5-2\sqrt{x+2}=0\\ \Leftrightarrow x^4-x^2+2x+2+(x+2-2\sqrt{x+2}+1)=0\\ \Leftrightarrow (x+1)^2(x^2-2x+2)+(\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+1})^2=0\\ \Leftrightarrow x=-1$

Giải phương trình:

$x^{2}+(3-\sqrt{x^{2}+2})x=1+2\sqrt{x^{2}+2}$

$x^{2}+(3-\sqrt{x^{2}+2})x=1+2\sqrt{x^{2}+2}\\ \Leftrightarrow x^2+2-(x+2)\sqrt{x^2+2}+3x-3=0\\ \Delta = (x+2)^2-4(3x-3)=x^2-8x+16=(x-4)^2$

Thế này chắc là được rồi!!

$\frac{2+2\sqrt{4y^{2}+1}}{x+\sqrt{x^{2}-2x+2}-1}=\frac{1}{y(x-1)^{2}}\\ \Leftrightarrow 2y+2y\sqrt{4y^2+1}=\frac{x-1+\sqrt{(x-1)^2+1}}{(x-1)^2}\\ \Leftrightarrow 2y+2y\sqrt{4y^2+1}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-1}\sqrt{\frac{1}{(x-1)^2}+1}\\ \Leftrightarrow f(2y)=f(\frac{1}{x-1})(1)$

Với $f(t)=t+t\sqrt{t^2+1},t\geq 0\\ f'(t)=1+\sqrt{t^2+1}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}}>0$

$\Rightarrow(1)\Leftrightarrow 2y=\frac{1}{x-1}$

Rồi đem thế vào pt(2) thì chắc là ổn rồi!! 

Bạn giải thích rõ hơn một chút được không, mình vẫn chưa hiểu lắm !

Bpt $\Leftrightarrow (\sqrt {2\,{x}^{2}-10\,x+16})^2\leq (\sqrt {x-1}+x-3)^2$

Theo bất đẳng thức Bunhiacopsky, ta có:

$(\sqrt {x-1}+x-3)^2\leq 2(x^2-5x+8)$

Giải BPT :  $3-x\leq \sqrt {x-1}-\sqrt {2\,{x}^{2}-10\,x+16}$     Sử dụng bđt bunhiacopxki...

MN giúp mình với !

Dễ thấy điều kiện có nghiệm là $x\geq 3$

Ta có:

$(\sqrt {2\,{x}^{2}-10\,x+16})^2\leq (\sqrt {x-1}+x-3)^2\leq 2(x^2-5x+8)\\ \Leftrightarrow \sqrt{x-1}=x-3\Leftrightarrow x=5$

Thêm bài này nữa:

 

$\left\{\begin{matrix} xy+y=2& \\ x+y+\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+12}=6& \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} xy+y=2& \\ x+y+\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+12}=6& \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y(x+1)=2\\ (x+1)+y+\sqrt{(x+1)^2+y^2+11}=7 \end{matrix}\right.$

Đến đây pt(2) chuyển vế bình phương và biến đổi theo tổng,tích

Giải HPT $\left\{\begin{matrix} xy^2-2y+3x^2=0 & \\ y^2+x^2y+2x=0 & \end{matrix}\right.$

(Giải càng nhiều cách càng tốt)

Vì (0,0) là nghiệm của hệ.

Xét x,y$\neq$0

HPT$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2y^2-2xy+3x^3=0 & \\ y^3+x^2y^2+2xy=0 & \end{matrix}\right.$

Cộng vế với vế $\Rightarrow y^3+3x^3=-2x^2y^2(1)$

Trừ vế với vế $\Rightarrow y^3-3x^3=-4xy(2)$

Nhân vế với vế của (1) và (2)$\Rightarrow y^6-9x^6=8x^3y^3$

Đến đây tự làm tiếp nhé!!

3.x,y,z >0 x^2+y^2+z^2=3 chứng minh $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{zy}{x}\geq 3$

$(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{zy}{x})^2=(\frac{xy}{z})^2+(\frac{xz}{y})^2+(\frac{zy}{x})^2+2(x^2+y^2+z^2)=6+(\frac{xy}{z})^2+(\frac{xz}{y})^2+(\frac{zy}{x})^2$

Mà theo bất đẳng thức AM-GM: 

$(\frac{xy}{z})^2+(\frac{xz}{y})^2+(\frac{zy}{x})^2\geq x^2+y^2+z^2=3$

$Dk: x\geq \frac{-3}{2}\\ (1-\sqrt{3+2x})^2(2x+10)>4(x+1)^2\\ \Leftrightarrow (\frac{2+2x}{1+\sqrt{3+2x}})^2(2x+10)>4(x+1)^2\\ \Rightarrow 2x+10>(1+\sqrt{3+2x})^2\\ \Leftrightarrow 2x+10>1+3+2x+2\sqrt{3+2x}\\ \Leftrightarrow 3>\sqrt{3+2x}\\ \Leftrightarrow 9>3+2x\Leftrightarrow x<3$

Kết hơp điều kiện $\Rightarrow S=[\frac{-3}{2};3)/{-1}$

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y^{2}+6}+y\sqrt{x^{2}+3}=7xy(1)\\ x\sqrt{x^{2}+3}+y\sqrt{y^{2}+6}=2+x^{2}+y^{2}(2) \end{matrix}\right.$

+) Thấy (0,0) không là nghiệm của hệ phương trình.

+) Xét xy$\neq$0, ta có:

$(1)\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x^2+3}}{x}+\frac{\sqrt{y^2+3}}{y}=7$

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y^{2}+6}+y\sqrt{x^{2}+3}=7xy(1)\\ x\sqrt{x^{2}+3}+y\sqrt{y^{2}+6}=2+x^{2}+y^{2}(2) \end{matrix}\right.\\ (2)\Leftrightarrow x(\sqrt{x^2+3}-x)+y(\sqrt{y^2+6}-y)=2\\ \Leftrightarrow \frac{3x}{\sqrt{x^2+3}+x}+\frac{6y}{\sqrt{y^2+6}+y}=2\\ \Leftrightarrow \frac{3}{1+\frac{\sqrt{x^2+3}}{x}}+\frac{6}{1+\frac{\sqrt{y^2+6}}{y}}=2$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{x^2+3}}{x}=u\\\frac{\sqrt{y^2+6}}{y}=v \end{matrix}\right.$ thì

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u+v=7\\ \frac{3}{u+1}+\frac{6}{v+1}=2 \end{matrix}\right.$

Đến đây mình nghĩ là bài toán đã được giải quyết. 

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^2-3}=y+\sqrt{y^2+3} \\ x^3-y^3=3x-3y+4 \end{matrix}\right.$.

$x+\sqrt{x^2-3}=y+\sqrt{y^2+3}\\ \Leftrightarrow \frac{x^2-y^2-3}{x+\sqrt{y^2+3}}+\frac{x^2-y^2-3}{y+\sqrt{x^2-3}}=0\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^2-y^2-3=0\\ x+\sqrt{x^2-3}+y+\sqrt{y^2+3}=0(vonghiem) \end{bmatrix}$

HPT$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-y^2-3=0\\ x^3-y^3=3x-3y+4 \end{matrix}\right.$

Đến đây thì làm tiếp giống như bạn Juliel. 

Giải PT :

$\sqrt{x} + \sqrt{3-x} = x^{2}-x-2$

Điều kiện có nghiệm của phương trình là $x\geq 2$

$\sqrt{x} + \sqrt{3-x} = x^{2}-x-2\\ \Leftrightarrow \sqrt{x}-(x-1)+\sqrt{3-x}-(x-2)=x^2-3x+1\\ \Leftrightarrow x^2-3x+1+\frac{x^2-3x+1}{\sqrt{x}+(x-1)}+\frac{x^2-3x+1}{\sqrt{3-x}+(x-2)}=0\\ \Leftrightarrow x^2-3x+1=0$

Đến đây thì dễ rồi! 

Giải các hệ phương trình sau : 

 

$i)$ $\left\{\begin{matrix} x^4+x^2=\dfrac{698}{81}(1) & & \\ x^2+y^2+xy-3x-4y+4=0(2) & & \end{matrix}\right.$

Ta có:

$x^2+y^2+xy-3x-4y+4=0\\ \Leftrightarrow y^2+(x-4)y+x^2-3x+4=0\\ \Delta _{y}=(x-4)^2-4(x^2-3x+4)=-3x^2+4x\geq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{4}{3}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq x^4\leq \frac{256}{81}\\ 0\leq x^2\leq \frac{16}{9} \end{matrix}\right.\\ \Rightarrow 0\leq x^4+x^2\leq \frac{400}{81}<\frac{698}{81}$

Vậy hệ vô nghiệm

Giải các hệ phương trình sau : 

$iii)$ $\left\{\begin{matrix} x^4-x^3y+x^2y^2=1 & & \\ x^3y-x^2+xy=1 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^4-x^3y+x^2y^2=1 & & \\ x^3y-x^2+xy=1 & & \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^4-x^3y+x^2y^2=1\\ (x^2+1)(xy-1)=0 \end{matrix}\right.$