Huuduc921996

Cho $a,b,c> 0$

Tìm Max $H=\frac{a}{5a+3b+3c}+\frac{b}{3a+5b+3c}+\frac{c}{3a+3b+5c}$.

$H=\frac{a}{5a+3b+3c}+\frac{b}{3a+5b+3c}+\frac{c}{3a+3b+5c}\\ \Leftrightarrow 2H=\frac{2a}{5a+3b+3c}+\frac{2b}{3a+5b+3c}+\frac{2c}{3a+3b+5c}\\=3-3(a+b+c)(\frac{1}{5a+3b+3c}+\frac{1}{3a+5b+3c}+\frac{1}{3a+3b+5c})\\\leq 3-3(a+b+c).\frac{9}{11(a+b+c)}=\frac{6}{11}\\ \Rightarrow H\leq \frac{3}{11}$

Dễ thấy x>0 là điều kiện có nghiệm của pt.

Xét x>0

$2x\left ( \sqrt {x^{2}+1}-1\right )=\sqrt{3x^{2}+3}\\ \Leftrightarrow2(\sqrt {x^{2}+1}-1)=\sqrt{3+\frac{3}{x^2}}$

Đặt $t= x^2> 0$

$ \Rightarrow 2(\sqrt{t+1}-2)=\sqrt{3+\frac{3}{t}}-2\\ \Leftrightarrow 2\frac{t-3}{\sqrt{t+1}+2}=\frac{3-t}{t\sqrt{3+\frac{3}{t}}}\\ \Leftrightarrow t=3\Rightarrow x=\sqrt{3}$

$1/2{({x^2} + x - 1)^2} + 2{x^2} + 2x = 3 + \sqrt {5 + 4x} $

$2/2\sqrt[3]{{{x^3} + 7}} + 1 = \sqrt {1 + 16x + 8{x^2}} $

$3/(2 - x)\sqrt {1 + x}  + (2 + x)\sqrt {1 - x}  + \frac{{16}}{{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} = 12$

 

MOD: Chú ý tiêu đề

2) Đặt $\sqrt {1 + 16x + 8{x^2}}-1=y$

Ta được: 

$\left\{\begin{matrix} 8x^3+56=y^3\\ 8x^2+16x+1=(y+1)^2 \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8(x^3+8)=y^3+8\\ 8(6x^2+12x)=6y^2+12y \end{matrix}\right.\\ \Rightarrow 8(x+2)^3=(y+2)^3\\ \Leftrightarrow 2(x+2)=y+2\\ \Leftrightarrow y=2x+2\\ \Rightarrow 8x^2+16x=(2x+2)^2+2(2x+2)\\ \Leftrightarrow 8(x+1)^2-8=4(x+1)^2+4(x+1)\\ \Leftrightarrow (x+1)^2-(x+1)-2=0\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-2\\ x=1 \end{bmatrix}$

Thử lại thấy x=1 là nghiệm của phương trình

Bài 2 đặt tới đặt lui không ra, nghĩ đi nghĩ lại bình phương thì nó cũng chỉ lên tới... bậc 4, bài này lại có nghiệm đẹp, chắc giải = Ferrari ổn luôn=))

Ai có cách khác đỡ trâu hơn k ạ

Giải phương trình

 

1,$\frac{(1+x^2)^3}{6x^5-20x^3+6x}=\sqrt{1+x^2}$

 

2,$x+\frac{3x}{\sqrt{25x^2-9}}=\frac{7}{4}$

2, Điều kiện: $\begin{bmatrix} x> \frac{3}{5}\\ x< \frac{-3}{5} \end{bmatrix}$

Thấy $x< \frac{-3}{5}$ không là nghiệm của phương trình

Xét $x> \frac{3}{5}$, ta có:

$x+\frac{3x}{\sqrt{25x^2-9}}=\frac{7}{4}\\ \Leftrightarrow x^2+\frac{9x^2}{25x^2-9}+\frac{6x^2}{\sqrt{25x^2-9}}=\frac{49}{16}\\ \frac{25x^4}{25x^2-9}+\frac{6x^2}{\sqrt{25x^2-9}}-\frac{49}{16}=0$

Cách trâu bò này thì sao nhỉ?     

Sử dụng bất đẳng thức vào đánh giá là xong.

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{2}(dung theo cosi)$

Mình nghĩ là mình phân tích ko sai, nhưng sao chứng minh phương trình bậc 3 đó vô nghiệm được hả bạn?
mình dùng cái này http://www.wolframal...^3+3x^2+6x+4=0 
tính được nghiệm của phương trình bậc 3 trong ngoặc là  $\frac{1}{3}\left ( -1+\sqrt[3]{5}-5^{\frac{2}{3}} \right )$
Bạn chỉ rõ giúp mình được ko.
Cảm ơn nhiều.

Mình sẽ chứng minh:

Ta có: $a^3+ab^2=2b$

$\Rightarrow a^2+b^2=\frac{2b}{a}> 0$

nên phương trình bậc 3 đó vô nghiệm

Bai này minh sẽ làm cách khác mà không dùng AM-GM....

ĐK...

Vì $x=2$ khoongh là nghiệm nên PT$\Leftrightarrow \sqrt[3]{4x-4}+\sqrt{2x-2}=\frac{3x-1}{2x-2}$

Rõ ràng là Vế Trái đồng biến còn Vế phải nghịch biến

Cho nên PT có nghệm duy nhất !!!

Và duy nhất đó là $x=3$

Bài này cũng có thể k dùng đạo hàm như sau:

Đặt $t=\sqrt[6]{32(x-1)}\geq 0\\ \Rightarrow PT \Leftrightarrow 2.(\frac{t^6}{32}-1)(\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{4})=3\frac{t^6}{32}+2\\\Leftrightarrow (t^6-32)(2t^2+t^3)=6t^6+128\\ \Leftrightarrow t^9+2t^8-6t^6-32t^3-64t^2-128=0\\ \Leftrightarrow (t-2)(t^8+4t^7+8t^6+10t^5+20t^4+40t^3+48t^2+32t+64)=0\\ \Leftrightarrow t=2$

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ: Với mọi $ab\geq 1$ thì

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - b)}^2}(ab - 1)}}{{(1 + {a^2})(1 + {b^2})(1 + ab)}} \ge 0 \end{array}$(Đúng với ab$\geq$1)

Đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}\Rightarrow xyz=1$

Từ điều kiện bài toán ta dễ dàng có: $\frac{1}{4}\leq x\leq 1\Rightarrow 1\leq \sqrt{yz}\leq 2$

Khi đó: $P=\frac{1}{2+3x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{1}{2+3x}+\frac{2}{1+\sqrt{yz}}= \frac{1}{2+3x}+\frac{2\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$

Đến đây khảo sát hàm số là xong.(Đây là Đề thi Đại Học khối A-2011)

Ta có: $1=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}-ab-bc-ac\right )$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+b+c=x> 0\\ a^2+b^2+c^2=P>0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x(3P-x^2)=2\Leftrightarrow x^3-3Px+2=0$

Xét $f(x)=x^3-3Px+2\\ f'(x)=3x^2-3P\\ f'(x)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-\sqrt{P}\\ x=\sqrt{P} \end{bmatrix}\\$

Lập bảng biến thiên $\Rightarrow 0=f(x)\geq f(\sqrt{P})=2-2P\sqrt{P} \Leftrightarrow P\geq 1$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{P}\\ x^3-3Px+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2=P=1\Leftrightarrow (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2=1\Leftrightarrow a=1;b=0;c=0$ và các hoán vị

Cho a, b, c từng đôi một khác nhau và $0\leq a,b,c\leq 2$. CMR $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq \frac{9}{4}$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $0\leq c< b< a\leq 2$

Ta có: 

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{(a-b)(b-c)} = \frac{8}{4(a-b)(b-c)}\geq \frac{8}{(a-b+b-c)^2}= \frac{8}{(a-c)^2}$

Giờ ta chỉ cần chứng minh $\frac{9}{(a-c)^2}\geq \frac{9}{4}$

điều này $\Leftrightarrow a-c\leq 2$ (luôn đúng với điều giả sử)

Dấu "=" xảy ra khi a=2; b=1; c=0 và các hoán vị

Giải phương trình:

$16x^{4}+5=6\sqrt[3]{4x^{3}+x}$

Nhẩm thấy x=0.5 là nghiệm nên ta có đánh giá sau:

$6\sqrt[3]{4x^{3}+x}=3.\sqrt[3]{2.4x(4x^2+1)}\leq 4x^2+4x+3$

$\Rightarrow 4x^2+4x+3\geq 16x^4+5\\ \Leftrightarrow 16x^2-8x^2+1+4x^2-4x+1\leq 0\\ \Leftrightarrow (4x^2-1)^2+(2x-1)^2\leq 0\\ \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

Bài 155:

$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2-4x=-1\\ x^3+2x^2y+xy^2-2y^2-7x=2 \end{matrix}\right.$

Cách khác nè:

+ Thấy x=0 không là nghiệm của hệ.

+ Xét x$\neq$0, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2-4x=-1\\ x^3+2x^2y+xy^2-2y^2-7x=2 \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(x+y)+y^2+1=4x\\ x(x+y)^2-2(y^2+1)=7x \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)+\frac{y^2+1}{x}=4\\ (x+y)^2-2\frac{y^2+1}{x}=7 \end{matrix}\right.$

Giải hệ : $\left\{\begin{matrix}x^{2}(y+1)=6y-2 \\ x^{4}y^{2}+2x^{2}y^{2}+y(x^{2}+1)=12y^{2}-1 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x^{2}(y+1)=6y-2 \\ x^{4}y^{2}+2x^{2}y^{2}+y(x^{2}+1)=12y^{2}-1 \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2y+y+2+x^2=7y\\ (x^2y+y)^2+x^2y+y+1=13y^2 \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^2y+y+1)+(x^2+1)=7y\\ (x^2+y+1)^2-(x^2y+y)=13y^2 \end{matrix}\right.$

Thấy y=0 không là nghiệm

Xét y$\neq$0, ta có:

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2y+y+1}{y}+\frac{x^2+1}{y}=7\\ (\frac{x^2y+y+1}{y})^2-\frac{x^2+1}{y}=13 \end{matrix}\right.$

Đến đây chắc là ra rồi.

Giải phương trình:

$(x^{2}+9)(x^{2}+9x)=22(x-1)^{2}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x^2+9=u\\ x^2+9x=v \end{matrix}\right.\Rightarrow x-1=\frac{v-u}{9}$

Đến đây giải pt đẳng cấp bậc 2 với u và v là xong

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{y^{2}+2y-4}=1 (1)& \\ \sqrt{x^{2}+9}+y=5(2)& \end{matrix}\right.\\ (2)\Leftrightarrow \sqrt{x^2+9}=5-y\Rightarrow x^2+9=25-10y+y^2\\ (1)\Rightarrow \sqrt{y^2-10y+20}+\sqrt{y^{2}+2y-4}=1\\ \Rightarrow -12y+24=\sqrt{y^2-10y+20}-\sqrt{y^{2}+2y-4}\\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{y^2-10y+20}+\sqrt{y^{2}+2y-4}=1\\ \sqrt{y^2-10y+20}-\sqrt{y^{2}+2y-4}=-12y+24 \end{matrix}\right.$

Hệ này thì cộng vế là xong rồi. Nhớ thử lại nghiệm nhé vì có pt hệ quả