PTKBLYT9C1213

Bài làm của MO26:

Thay x = y = 0 ta được:

$2f(0)=[f(0)]^{2}\Rightarrow f(0)=0 ; f(0)=2$

TH1: $f(0)=0$

Thay x = 1, y = 0 ta có:

$f(0)+f(1)=[f(1)]^{2}\Rightarrow f(1)=0 ; f(1)=1$

Nếu $f(1)=0$. Thay y = 1 ta có:

$f(x-1)=-f(x)$ $\Rightarrow f(x)=-f(x+1) \Rightarrow -f(x)=f(x+1)\Rightarrow f(x-1)=f(x+1)\Rightarrow f(x)=f(x+2)$

Suy ra $f$ là hàm tuần hoàn chu kì 2.

Nếu $f(1)=1$. Thay y = 1 ta có:

$f(x-1)=f(x)-1$

Bằng quy nạp ta chứng minh được $f(x)=x$

TH2: $f(0)=2$. Thay y = 0 ta có:

$2f(0)=f(x).f(0)$

$\Rightarrow f(x)=2$

Vậy $f(x)=2; f(x)=x;$ $f$ là hàm tuần hoàn chu kì 2

Mở rộng 1. 210 thành phố chỉ là một số cụ thể, ta có thể tổng quát bài toán thành n thành phố và các giả thiết khác không thay đổi, với cách làm tương tự ta được kết quả là (n^2)/3
Mở rộng 2: một quốc gia có n thành phố, người ta muốn xây đường một chiều giữa các thành phố sao cho: nếu có đường đi từ A đến B và từ C đến A thì không có đường đi từ B đến C. Hỏi có thể xây được nhiều nhất bao nhiêu đường?
Mở rộng 3: Một quốc gia có n thành phố, người ta muốn xây đường giữa các thành phố sao cho: Nếu có đường từ a1 đến a2 và từ a2 đến a3 thì không có đường từ a1 đến a3, nếu có đường từ a1 dđến a2, a2 đến a3, a3 đến a4 thì ko có đường a1 đến a4, nếu có đường từ a1 đến a2, a2 đến a3, a3 đến a4, a4 đến a5, a5 đến a6 thì ko có đường a1 đến a6,.... hỏi xây nhiều nhất bao nhiêu đường.
Đáp số vẫn là (n^2)/3 vì điều kiện đầu đã bao gồm tất cả điều kiện sau

Bài làm của MO26:

Gọi M là thành phố có nhiều con đường đi và đến nhất. Các thành phố còn lại chia làm 3 loại:

Loại 1: Các thành phố có đường đi từ M đến , giả sử có a thành phố  

Loại 2: Các thành phố có đường đi đến M, giả sử có b thành phố

Loại 3: Các thành phố còn lại, giả sử có c thành phố.

Theo giả thiết ta có a + b + c = 209.

Vì nếu có đường đi từ thành phố A đến thành phố B và từ thành phố B đến thành phố C thì không có đường đi từ thành phố A đến thành phố C nên các thành phố trong loại 1 sẽ không có đường nối với nhau, các thành phố trong loại 2 sẽ không có đường nối với nhau.

Suy ra số đường nối M với các thành phố trong loại 1 là a đường, trong loại 2 là b đường.        

Mặt khác, ta cũng có mỗi thành phố trong loại 1 sẽ nối với mỗi thành phố trong loại 2 nên số đường nhiều nhất là $ab$ đường

Mỗi thành phố trong loại 3 có thể nối với a thành phố trong loại 1 và b thành phố trong loại 2 nên số đường nhiều nhất là $c(a+b)$ đường

Suy ra số đường nhiều nhất có thể xây là a + b + ab + c(a+b).

Ta có: $a+b+ab+c(a+b)=ab+a(c+1)+b(c+1)\leq \frac{(a+b+c+1)^{2}}{3}=\frac{210^{2}}{3}=14700$

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 70, c = 69

Vậy số đường nhiều nhất có thể xây là 14700 đường

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Kiên ak.bạn còn trường hợp hình vẽ khác nữa hay sao đấy.

 

 

 Trường hợp khác chỉ có hình vẽ là thay đổi chút ít nhưng không ảnh hưởng tới chứng minh. 

Bài làm của MO26:

Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng AB, AC lần lượt là I, K.

Trung trực của đoạn IM, KM cắt AB, AC lần lượt tại P', Q'.

Ta sẽ chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với P'Q' luôn đi qua điểm cố định.

Gọi K' là điểm đối xứng với M qua P'Q'$\Rightarrow K'P'=P'M=P'I,K'Q'=Q'M=Q'K$

Mà $\widehat{P'MQ'}=\widehat{P'AQ'}\Rightarrow \widehat{P'K'Q'}=\widehat{P'AQ'}$

$\Rightarrow$ tứ giác AK'P'Q' nội tiếp $\Rightarrow \widehat{K'P'A}=\widehat{K'Q'A}\Rightarrow \widehat{K'P'I}=\widehat{K'Q'K}$

Mà tam giác K'P'I và tam giác K'Q'K cân tại P' và Q'

$\Rightarrow \widehat{K'IP'}=\widehat{K'KQ'}$

$\Rightarrow$ tứ giác AK'IK nội tiếp

Gọi H là giao điểm của K'M và đường tròn ngoại tiếp tam giác AIK.

Vì P' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác K'IM 

Nên $\widehat{IP'M}=2\widehat{IK'M}$

Gọi I' là trung điểm của IM. Ta có:

$\widehat{IP'M}=2\widehat{IP'I'}$

$\Rightarrow \widehat{IP'Í}=2\widehat{IK'M}\Rightarrow P'I'//AH\Rightarrow$ AH vuông góc IK.

Nên H cố định

Vậy đường thẳng qua M vuông góc với P'Q' đi qua H cố định.

Mặt khác ta có:

$\frac{ME}{MB}=\frac{MF}{MC}=k$ không đổi nên EF//BC

Mà đường thẳng qua E vuông góc với d cắt AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt AC tại Q

Suy ra PQ//P'Q'

Vậy đường thẳng qua M vuông góc với PQ đi qua H cố định.

 

 

Máy tính của em phần mền vẽ hình không biết tại sao không tải về được nên em xin đính kèm tệp vậy. Mong trọng tài thông cảm.

 

 

Ngay dòng này của em đã sai. Toàn bộ ý tưởng của em đều sụp đổ.

Mà đường thẳng qua E vuông góc với d cắt AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt AC tại Q

Suy ra PQ//P'Q'

Xem hình vẽ

 040214.png   46.41K   1 Số lần tải

$S=0$