Đến nội dung

PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

Đăng ký: 06-04-2013
Offline Đăng nhập: 12-10-2022 - 14:26
**---

#482163 Trận 3 - Tổ hợp rời rạc

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 09-02-2014 - 11:34

Mở rộng 1. 210 thành phố chỉ là một số cụ thể, ta có thể tổng quát bài toán thành n thành phố và các giả thiết khác không thay đổi, với cách làm tương tự ta được kết quả là (n^2)/3
Mở rộng 2: một quốc gia có n thành phố, người ta muốn xây đường một chiều giữa các thành phố sao cho: nếu có đường đi từ A đến B và từ C đến A thì không có đường đi từ B đến C. Hỏi có thể xây được nhiều nhất bao nhiêu đường?
Mở rộng 3: Một quốc gia có n thành phố, người ta muốn xây đường giữa các thành phố sao cho: Nếu có đường từ a1 đến a2 và từ a2 đến a3 thì không có đường từ a1 đến a3, nếu có đường từ a1 dđến a2, a2 đến a3, a3 đến a4 thì ko có đường a1 đến a4, nếu có đường từ a1 đến a2, a2 đến a3, a3 đến a4, a4 đến a5, a5 đến a6 thì ko có đường a1 đến a6,.... hỏi xây nhiều nhất bao nhiêu đường.
Đáp số vẫn là (n^2)/3 vì điều kiện đầu đã bao gồm tất cả điều kiện sau
  • LNH yêu thích


#482062 Trận 3 - Tổ hợp rời rạc

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 08-02-2014 - 22:02

Bài làm của MO26:

Gọi M là thành phố có nhiều con đường đi và đến nhất. Các thành phố còn lại chia làm 3 loại:

Loại 1: Các thành phố có đường đi từ M đến , giả sử có a thành phố  

Loại 2: Các thành phố có đường đi đến M, giả sử có b thành phố

Loại 3: Các thành phố còn lại, giả sử có c thành phố.

Theo giả thiết ta có a + b + c = 209.

Vì nếu có đường đi từ thành phố A đến thành phố B và từ thành phố B đến thành phố C thì không có đường đi từ thành phố A đến thành phố C nên các thành phố trong loại 1 sẽ không có đường nối với nhau, các thành phố trong loại 2 sẽ không có đường nối với nhau.

Suy ra số đường nối M với các thành phố trong loại 1 là a đường, trong loại 2 là b đường.        

Mặt khác, ta cũng có mỗi thành phố trong loại 1 sẽ nối với mỗi thành phố trong loại 2 nên số đường nhiều nhất là $ab$ đường

Mỗi thành phố trong loại 3 có thể nối với a thành phố trong loại 1 và b thành phố trong loại 2 nên số đường nhiều nhất là $c(a+b)$ đường

Suy ra số đường nhiều nhất có thể xây là a + b + ab + c(a+b).

Ta có: $a+b+ab+c(a+b)=ab+a(c+1)+b(c+1)\leq \frac{(a+b+c+1)^{2}}{3}=\frac{210^{2}}{3}=14700$

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 70, c = 69

Vậy số đường nhiều nhất có thể xây là 14700 đường

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 




#478979 Trận 2 - Hình học

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 25-01-2014 - 16:35

Bài làm của MO26:

Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng AB, AC lần lượt là I, K.

Trung trực của đoạn IM, KM cắt AB, AC lần lượt tại P', Q'.

Ta sẽ chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với P'Q' luôn đi qua điểm cố định.

Gọi K' là điểm đối xứng với M qua P'Q'$\Rightarrow K'P'=P'M=P'I,K'Q'=Q'M=Q'K$

Mà $\widehat{P'MQ'}=\widehat{P'AQ'}\Rightarrow \widehat{P'K'Q'}=\widehat{P'AQ'}$

$\Rightarrow$ tứ giác AK'P'Q' nội tiếp $\Rightarrow \widehat{K'P'A}=\widehat{K'Q'A}\Rightarrow \widehat{K'P'I}=\widehat{K'Q'K}$

Mà tam giác K'P'I và tam giác K'Q'K cân tại P' và Q'

$\Rightarrow \widehat{K'IP'}=\widehat{K'KQ'}$

$\Rightarrow$ tứ giác AK'IK nội tiếp

Gọi H là giao điểm của K'M và đường tròn ngoại tiếp tam giác AIK.

Vì P' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác K'IM 

Nên $\widehat{IP'M}=2\widehat{IK'M}$

Gọi I' là trung điểm của IM. Ta có:

$\widehat{IP'M}=2\widehat{IP'I'}$

$\Rightarrow \widehat{IP'Í}=2\widehat{IK'M}\Rightarrow P'I'//AH\Rightarrow$ AH vuông góc IK.

Nên H cố định

Vậy đường thẳng qua M vuông góc với P'Q' đi qua H cố định.

Mặt khác ta có:

$\frac{ME}{MB}=\frac{MF}{MC}=k$ không đổi nên EF//BC

Mà đường thẳng qua E vuông góc với d cắt AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt AC tại Q

Suy ra PQ//P'Q'

Vậy đường thẳng qua M vuông góc với PQ đi qua H cố định.

 

 

Máy tính của em phần mền vẽ hình không biết tại sao không tải về được nên em xin đính kèm tệp vậy. Mong trọng tài thông cảm.

 

 

Ngay dòng này của em đã sai. Toàn bộ ý tưởng của em đều sụp đổ.


Mà đường thẳng qua E vuông góc với d cắt AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt AC tại Q

Suy ra PQ//P'Q'

Xem hình vẽ

File gửi kèm  040214.png   46.41K   1 Số lần tải

$S=0$

File gửi kèm

  • File gửi kèm  Doc1.doc   28K   35 Số lần tải



#476774 Trận 1 - Số học

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 11-01-2014 - 23:09

Mở rộng 1:

Thay đổi giả thiết x,y là các số nguyên không âm thành x,y là các số nguyên.

Với cách giải tương tự (chú ý điều kiện $y\geq -1$ ) ta vẫn thu được nghiệm (x, y) = (1, 0)

Mở rộng 2:

Tìm các số nguyên không âm thõa mãn đẳng thức:

                      $x^{2}=y^{2}+\sqrt[n]{y+1}$     $(n\in N,n\geq 2)$

Giải:

Ta có: $x^{2}=y^{2}+\sqrt[n]{y+1}> y^{2}$ do $\sqrt[n]{y+1}> 0$ với $y$ nguyên không âm

$x^{2}=y^{2}+\sqrt[n]{y+1}\leq y^{2}+\frac{y+n}{n}=y^{2}+\frac{y}{n}+1$ (bất đẳng thức AM-GM cho n số)

                                         $\leq y^{2}+\frac{y}{2}+1\leq y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}$

$\Rightarrow y^{2}< x^{2}\leq (y+1)^{2}$

$\Rightarrow x^{2}=(y+1)^{2}$

Thay vào đẳng thức ta tìm được $(x,y)=(1,0)$




#457550 $\frac{S_{MAN}}{S_{MBN}}+...

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 13-10-2013 - 23:21

Cho M trong tam giác ABC. N, P, Q là ba điểm thẳng hàng trên các đường thẳng AB, BC, CA thoã mãn: $\frac{S_{MAN}}{S_{MBN}}+\frac{S_{MBP}}{S_{MCP}}=2\sqrt{\frac{S_{MAQ}}{S_{MCQ}}}$

Chứng minh rằng: MP//AC




#457297 $n\leq 2^{m}$

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 12-10-2013 - 23:40

Cho m, n nguyên dương và m, n > 1. Xét tập hợp X gồm n phần tử và A1, A2,..., Am là m tập con của X thõa mãn điều kiện:

 Với $\forall x, y \in X, x\neq y$ thì tồn tại tập Ak với $1\leq k\leq m$ sao cho $x\in A_{k}, y\notin A_{k}$ hoặc $x\notin A_{k}, y\in A_{k}$

Chứng minh rằng : $n\leq 2^{m}$




#457260 $\sum_{k=0}^{n}kP_{n}(k)=n!$

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 12-10-2013 - 21:57

Xem tại đây.

Cách giải trong đó thì anh hiểu rồi nhưng anh muốn hỏi vấn đề trên như thế nào?




#457258 $\sum_{k=0}^{n}kP_{n}(k)=n!$

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 12-10-2013 - 21:55

Theo cách giải trong cuốn " CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TỔ HỢP VÀ RỜI RẠC" thì:

Vì tổng tất cả các hoán vị của n phần tử có 0, 1, 2,..., n điểm cố định bằng tất cả các hoán vị có thể của n phần tử, tức bằng n! nên ta có đẳng thức: $\sum_{k=0}^{n}P_{n}(k)=n!$     (*)

Mình thấy đẳng thức (*) đúng và đầu bài ra cũng đúng, phải chăng là có mâu thuẫn?????????????????? :closedeyes:




#457254 $\sum_{k=0}^{n}kP_{n}(k)=n!$

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 12-10-2013 - 21:49

Cho tập S={1, 2, 3,...,n} với $n\geq 1$. Gọi $P_{n}(k)$ là số hoán vị của tập S có đúng k điểm cố định. Chứng minh rằng $\sum_{k=0}^{n}kP_{n}(k)=n!$

 

 

 




#457250 Cho 5 số, mỗi số gồm 100 chữ số 1 hoặc 2. Biết rằng trong 2 số bất kỳ có r hà...

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 12-10-2013 - 21:41

r ở đây là gì thế bạn??

r là số hàng bằng nhau trong hai số bất kì




#456962 $\frac{n!}{p!(n-p)!}\vdots p$

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 11-10-2013 - 23:09

Có cần điều kiện n là số nguyên tố không nhỉ ?

Mình thấy $C^{1}_{4}\vdots 4$ mà

Bạn xem lại đề đi

Đây chỉ là một trường hợp cụ thể mà thôi. Nếu không có điều kiện số nguyên tố thì kết luận không thể đúng trong mọi trường hơp. Bạn có thể xem cách chứng minh tại cuốn " ĐẲNG THỨC TỔ HỢP" trang 125




#456604 $$\sum_{k=0}^{n}(C_{n}^{k...

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 10-10-2013 - 16:52

Chứng minh rằng:      $$\sum_{k=0}^{n}(C_{n}^{k})^{2}=C_{2n}^{n}$$

Chọn ra n phần tử từ tập gồm 2n phần tử ta có $C_{2n}^{n}$ cách chọn.

Mặt khác, chia 2n phần tử thành 2 tập A và B, mõi tập gồm n phần tử.

Để chọn ra n phần tử ta chọn k phần tử từ tập A và n-k phần tử từ tập B

Cho k chạy từ 0 đến n ta có đpcm




#446700 $$-\sqrt{2-x}(3x+5)-5\sqrt{2+x}=0...

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 31-08-2013 - 22:40

Giải pt:

$-\sqrt{2-x}(3x+5)-5\sqrt{2+x}=0$

 

-$\sqrt{2-x}$ ( 3x + 5) - 5$\sqrt{2+x}$ = 0

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{2-x}$( 3x + 5) = -5$\sqrt{2+x}$

$\Leftrightarrow$ ( 3x + 5)2( 2 -x ) = 25 ( 2 + x)

$\Leftrightarrow$ ( 9x2 + 30x + 25 )( 2-x ) = 50 + 25x

$\Leftrightarrow$ 18x2 + 60x + 50 - 9x3 - 30x2 - 25x = 50 + 25x

$\Leftrightarrow$ -9x3 - 12x2 + 10x = 0 

$\Leftrightarrow$ 9x3 + 12x2 - 10x = 0

 $\Leftrightarrow$ x $\epsilon$ { 0 ; $\frac{-2-\sqrt{14}}{3}$ ; $\frac{-2+\sqrt{14}}{3}$ }

Chỗ này bạn thiếu điều kiện $3x+5\leq 0\Leftrightarrow x\leq -\frac{5}{3}$




#446686 $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}...

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 31-08-2013 - 21:39

Cho 3 số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng 

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+xz$

Ta có: $2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Ta phải chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 9$

Sử dụng BĐT AM-GM ta có:

$a^{2}+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a$

$b^{2}+\sqrt{b}+\sqrt{b}\geq 3b$

$c^{2}+\sqrt{c}+\sqrt{c}\geq 3c$

Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(a+b+c)=9$




#444703 Giải phương trình $2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt...

Gửi bởi PTKBLYT9C1213 trong 22-08-2013 - 10:13

Giải phương trình $2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

$VP=\sqrt{(x-1)\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}\leq \frac{x-1+\frac{1}{x}}{2}+\frac{3(x-\frac{1}{x}+1)}{2}=2x+1-\frac{1}{x}=VT$