LumiseEdireKRN

Đề thi ngày thứ nhất:

Thời gian: 180 phút.

Bài 1 (5 điểm).

Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

$\left (\frac{a+b+c}{3}  \right )^3 \geq \left (\frac{ab+bc+ca}{3}  \right )\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$.

Bài 2 (5 điểm).

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:

$u_1 \epsilon (0;1)$, $u_n= \frac{1}{3}\left (u_{n-1}+\sqrt{3u_{n-1}^2+1}  \right )$, $\forall n \geq 2$.

Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 3 (5 điểm).

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Điểm $M$ thuộc cung $BC$ (không chứa $A$). Gọi $D$, $H$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên các đường thẳng $AC$, $AB$. Xác định điểm $M$ để độ dài $DH$ lớn nhất.

Bài 4 (5 điểm).

Cho $P_0(x)$, $P_1(x)$, ..., $P_9(x)$ là các đa thức thỏa mãn:

$P_0(x^{10})+xP_1(x^{10})+...+x^8P_8(x^{10})=(x^9+x^8+...+x+1)P_9(x)$, $\forall x \epsilon R$.

Chứng minh $P_k(1)=0$ với $k=\overline{1,9}$.

_______________________________________________________________________________

Đề thi ngày thứ hai:

Thời gian: 180 phút.

Bài 5 (6 điểm).

Tìm tất cả các hàm số $f:R \rightarrow R$ thỏa mãn:

$f(x-f(y))=1-x-y$, $\forall x,y \epsilon R$.

Bài 6 (7 điểm).

Chứng minh rằng phương trình $(4x-1)(4y-1)=4z^2+1$ không có nghiệm nguyên dương nhưng có vô số nghiệm nguyên.

Bài 7 (7 điểm).

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường cao $AH$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Đường tròn đường kính $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $M$ và cắt đường thẳng $AH$ tại điểm $N$ ($M$, $N$ khác $A$).

a) Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ đi qua trung điểm $T$ của cung $BC$ (không chứa $A$).

b) Chứng minh rằng ba điểm $M$, $N$, $D$ thẳng hàng.

_______________________________________________________________________________

Đề này cũng tạm được, mình làm được khoảng 30 điểm nếu không sai sót.

Đề thi ngày thứ nhất:

Thời gian: 180 phút.

Bài 1 (4 điểm).

Cho hàm số $y=\frac{2}{3}x^3+(m+1)x^2+(m^2+4m+3)x+1$ (1), với $m$ là tham số thực.

1) Tìm $m$ để hàm số (1) luôn đồng biến trên tập xác định của nó.

2) Tìm $m$ để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị với hoành độ $x_1$, $x_2$ thoả mãn $2x_1x_2-(x_1+x_2)+2=0$.

Bài 2 (4 điểm).

Giải phương trình $1+2cos^2\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}  \right )=cos^2\left (\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}  \right )$.

Bài 3 (4 điểm).

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho điểm $A(4;-2)$ và đường tròn (C) có phương trình: $(x-3)^2+(y-2)^2=5$.

1) Tìm các điểm có toạ độ nguyên thuộc đường tròn (C).

2) Tìm trên đường tròn (C) điểm B sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$ ($O$ là gốc toạ độ).

Bài 4 (4 điểm).

Cho tứ diện $SABC$ có ba cạnh $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc và $AC=2SB$, $BC=2SA$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $S$ lên các đường thẳng $AC$, $BC$ và $I$ là trung điểm đoạn $AB$. Chứng minh rằng:

1) Đường thẳng $SC$ vuông góc với đường thẳng $EF$.

2) $tan^2(\alpha )+tan^2(\beta )+\frac{EF}{AB}=\frac{5}{4}$. Với $\alpha=\widehat{SCI}$ và $\beta=\widehat{SCA}$.

Bài 5 (4 điểm).

Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương thoả mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{x^3-2x^2+x}{\sqrt{x}(y+z)} \leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

________________________________________________________________________________________________________

Đề thi ngày thứ hai:

Thời gian: 180 phút.

Bài 1 (5 điểm).

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & & & \\ xy+yz-zx=7 & & & \\ x^2+y^2+z^2=14 & & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 thì

$\frac{a+b+c}{ab+bc+ca} \geq {}\sum \frac{a}{a^{2}+bc+b^{2}}$

Bài 1. Chứng minh rằng trong một lục giác lồi luôn tìm được một đường chéo cắt ra một tam giác có diện tích không lớn hơn $\frac{1}{6}$ diện tích lục giác.

Bài 2. Trong hình vuông có cạnh bằng 1 cho n điểm, chứng minh rằng luôn tìm được một tam giác từ các điểm hoặc đỉnh hình vuông có diện tích không lớn hơn $\frac{1}{2(n+1)}$.

Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác đó. Từ O kẻ OA', OB', OC' lần lượt vuông góc với BC, CA, AB tại A', B', C'. Đường tròn tâm K đi qua ba điểm A', B', C' cắt AB, BC, CA lần lượt tại C'', A'', B'' không trùng với C', A', B'. Chứng minh rằng ba đường thẳng vuông góc với AB, BC, CA lần lượt tại C'', A'', B'' đồng quy.