Tìm kiếm
Bí mật
Chứng minh bằng quy nạp.
Với $n = 2$, bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức.
Giả sử bất đẳng thức đúng tới n, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $n + 1$
Cần chứng minh:
${a_1}a_2^4 + ... + {a_{n - 1}}a_n^4 + {a_n}a_{n + 1}^4 + {a_{n + 1}}a_1^4 \ge {a_2}a_1^4 + ... + {a_n}a_{n - 1}^4 + {a_{n + 1}}a_n^4 + {a_1}a_{n + 1}^4$
Theo giả thiết quy nạp:
${a_1}a_2^4 + ... + {a_{n - 1}}a_n^4 \ge {a_2}a_1^4 + ... + {a_n}a_{n - 1}^4 + {a_1}a_n^4 - {a_n}a_1^4$
Vậy, cần chứng minh bất đẳng thức:
${a_1}a_n^4 - {a_n}a_1^4 + {a_n}a_{n + 1}^4 + {a_{n + 1}}a_1^4 \ge {a_{n + 1}}a_n^4 + {a_1}a_{n + 1}^4$
do ${a_1} < {a_n} < {a_{n + 1}}$, và bất đẳng thức cuối có thể viết lại dưới dạng:
$\left( {{a_{n + 1}} - {a_1}} \right)\left( {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right)\left( {{a_n} - {a_1}} \right)\left( {a_1^2 + a_n^2 + a_{n + 1}^2 + {a_1}{a_n} + {a_1}{a_{n + 1}} + {a_n}{a_{n + 1}}} \right) \ge 0$
nên theo nguyên lý quy nạp, bất đẳng thức được chứng minh
