Đến nội dung

taideptrai

taideptrai

Đăng ký: 17-04-2013
Offline Đăng nhập: 20-12-2015 - 09:07
**---

#587354 $f(x^2+f(y))=xf(y)+2y$

Gửi bởi taideptrai trong 05-09-2015 - 11:04

  Giả sử tồn tại hàm f thoả mãn đề bài

$x=0=>f(f(y))=2y$ với mọi $y\in \mathbb{R}$ => f(x) song ánh

SUYRA $f(f(0))=0$

$x=1;y=0=>f(1+f(0))=f(0)=>1+f(0)=0=>f(0)=-1$ (1)

nên $f(-1)=f(f(0))=0$

$y=-1;x=0=>f(0)=-2$ (2)

  Từ (1) và (2) ta thầy điều mâu thuẫn

   Vậy không tồn tại hàm f thoả mãn đề bài




#574678 hàm f(x): $[1;+\infty )\rightarrow [1;+\infty )$

Gửi bởi taideptrai trong 22-07-2015 - 20:42

Tìm tất cả các hàm f(x): $[1;+\infty )\rightarrow [1;+\infty )$

      1 ) $x\leq f(x)\leq 2x+2$

      2) $xf(x+1)=(f(x)^{2})-1$     




#541510 $x-f(x)+f(x-f(x))=0$

Gửi bởi taideptrai trong 21-01-2015 - 17:41

hàm f(x)=x cũng thỏa mãn mà bạn, Bạn xem lại giúp mình với ạ.

ừ bạn chờ tí nhé




#541169 $x-f(x)+f(x-f(x))=0$

Gửi bởi taideptrai trong 18-01-2015 - 11:59

Tìm hàm liên tục từ $R$ đến $R$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $x-f(x)+f(x-f(x))=0$

Không cần đến gt hàm liên tục và f(0)=0

đặt x-f(x)=g(x) Khi đó g(g(x))= g(x)-f(g(x))

 Mà f(g(x))= -g(x) theo gt nên g(g(x))=2g(x)

Xét với mỗi $x\in \mathbb{R}$ ta có dãy sau

a0=x ;

a1=g(x) ;

a2= g(g(x)) ;

........

an= gn(x) ; (kí hiệu này tự hiểu nhé)

 Khi đó an+1=2a=> an+1=2n+1a0. Thay n=0 suy ra  a1=2a0 hay g(x)=2x => f(x)=x-g(x)= -x

 Vậy  f(x)= -x




#540331 VMO 2015

Gửi bởi taideptrai trong 11-01-2015 - 06:47

Bài 1 :  

 

a.  Với $a=0$ thì dãy viết lại như sau :         $\left\{\begin{matrix} u_{1}=3 & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n}+\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3} & \end{matrix}\right.$

 

     Th1:   $$u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$$  (**)

 

Xét  $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{u_{n}}{2}$ (*)

 

Giả sử $u_{n}$  là hàm tăng thì (*) $\Leftrightarrow \sqrt{u^{2}_{n}+3} >  2u_{n}\Leftrightarrow u_{n}<1$  ( vô lý ) 

 

nên $u_{n}$ là hàm giảm  mà kết hợp với (**) nên $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn .   

 

Gọi    $lim u_{n}=L$   ,  chuyển qua giới hạn ta có :    $L=1$  nên    $lim u_{n}=1$

 

  Hiển nhiên ta có $u_{n}>0$ 

 

 Th2 :        $0< u_{n}\leq 1$ (***)  ,  tương tự như trên ta cũng chứng minh được  $u_{n}$ là hàm số tăng mà kết hợp với  (***)

 

ta được  $u_{n}$ tăng và bị chặn trên nên    $lim u_{n}=1$

 

b.         Th1 :   $u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$  ,  chứng minh tương tự câu a  nên dãy có giới hạn hữu hạn 

 

            Th2 :   $0 < u_{n}\leq 1 $  ta cũng sẽ chứng minh $u_{n}$ là hàm tăng như sau :      

 

Xét :  $u_{n+1}-u_{n}=\frac{n^{2}}{4n^{2}+a}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{1}{2}u_{n}$

 

Sau đó sử dụng đánh giá  :   $a <1$  rồi đưa về biểu thức sau :   $u^{2}_{n}=\frac{12n^{4}}{12n^{4}+8n^{2}+1}<1 \rightarrow u_{n}<1$  (đúng )

 

nên $u_{n}$  tăng và bị chặn trên nên  $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn 

Câu a của cậu cũng sai luôn rồi!!! Có đến mấy chỗ cậu ngộ nhận luôn. Làm gì có chuyện hàm không tăng thì là hàm giảm??? Nếu như xét TH như vậy thì đang còn thiếu TH, lỡ dãy nãy đánh võng quanh số 1 thì cậu làm sao???




#532398 Đề thi chọn đội tuyển HSG QG Hà Nội năm học 2014-2015

Gửi bởi taideptrai trong 08-11-2014 - 20:25

Ta sẽ tìm m bằng phương pháp quy nạp:

gọi m là số sao cho $m^{2}\equiv -9 (mod 2^{2^{k}}-1)\Rightarrow m^{2}=(2^{2^{k}}-1)i-9\Rightarrow 2^{2^{k+1}}m^{2}=(2^{2^{k}+2^{k+1}}-2^{2^{k+1}})i-9.2^{2^{k+1}}\Rightarrow (m.2^{2^{k}})^{2}\equiv -9(mod 2^{2^{k+1}}-1)$

áp dụng đồng dư cho phần dư sau.

sai rồi bạn ơi! Đoạn cuối bạn suy ra sai rồi. Bạn đọc kĩ lại xem




#433697 $\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+...

Gửi bởi taideptrai trong 08-07-2013 - 09:57

$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}= \frac{9}{3+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

vậy ta cần chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 3$ (1)

giả sử bất đẳng thức vừa nêu là đúng ta có

$(1)\Rightarrow (a+b+c)^{2}\leqslant 3+2(ab+bc+ac)$$\Rightarrow ab+bc+ac\leqslant 3$ 

ta có $ab+bc+ac\leqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{3}= 3$ (luôn đúng ) nên (1) đúng 

vậy được đpcm

sai rồi @!!! vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$

chứ không phải$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3$   đâu nghen   :angry:  :angry:  :angry:




#433625 $ \sum \frac{a}{1+b^{2}c}\g...

Gửi bởi taideptrai trong 07-07-2013 - 21:08

chứng minh với mọi số dương a,b,c,d thoã mãn a+b+c+d=4

ta có $\frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\geq 2$

 

a ơi đề là $a+b+c+d=4$ mà

tớ có cách khác xin đóng góp

ta có $\frac{a}{1+b^{2}c}=\frac{a(1+b^{2}c)-ab^{2}c}{1+b^{2}c}=a-\frac{ab^{2}c}{1+b^{2}c}\geq a-\frac{ab^{2}c}{2b\sqrt{c}}=a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}$ . tương tự với những cái còn lại 

nên $\sum \frac{a}{1+b^{2}c}\geq a+b+c+d-(\frac{ab\sqrt{c}}{2}+\frac{bc\sqrt{d}}{2}+\frac{cd\sqrt{a}}{2}+\frac{da\sqrt{b}}{2})$

bây giờ ta cần chứng minh $\sum \frac{ab\sqrt{c}}{2}\leq 2$ => $\sum ab\sqrt{c}\leq 4$

 

thật vậy vì$\sum ab\sqrt{c}=\sum \sqrt{a^{2}b^{2}c}\leq \frac{1}{2}(abc+bcd+cda+dab+ab+bc+ca+ad)$

mà $abc+bcd+cda+dab=ac(b+d)+bd(a+c)\leq \frac{(a+c)^{2}}{4}(b+d)+\frac{(b+d)^{2}}{4}(c+a)=(a+c)(b+d)\frac{a+b+c+d}{4}=(a+c)(b+d)\leq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4}=4$

và $ab+bc+cd+da\leq 4$ (dễ dàng chứng minh)

nên $\sum ab\sqrt{c}\leq \frac{1}{2}(abc+bcd+cda+dab+ab+bc+cd+da)\leq 4$

=> đpcm

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1




#433381 Chứng minh $(abc)^2+2a^2+2b^2+2c^2 \ge 7$

Gửi bởi taideptrai trong 06-07-2013 - 22:04

hehehehehe!!! câu b cũng tương tự

 

ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}+(abc)^{2}+1+1\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

nên $a^{2}+b^{2}+c^{2}+(abc)^{2}+2\geq 2(ab+bc+ca)$

suyra $(a+b+c)^{2}+(abc)^{2}+2\geq 4(ab+bc+ca)$

mà a+b+c=3 => $(abc)^{2}+11\geq 4(ab+bc+ca)$

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1




#433179 Chứng minh BĐT: $a+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca\leqslan...

Gửi bởi taideptrai trong 06-07-2013 - 09:21

Từ gt suy ra $(a-1)(b-1)(c-1)\leq 0$

$\Rightarrow abc+a+b+c-(ab+bc+ac)\leq 1$

Lại có $0\leq b\leq 1$ nên $b^2\leq b$ $(1)$ 

$0\leq c\leq 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}c^3\leq c^2 & & \\ c^2\leq c & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow c^3\leq c$ $(2)$ 

Mà $abc\geq 0$ $(3)$

Từ $(1) ; (2) ; (3)$ suy ra $a+b^2+c^3-(ab+bc+ac)\leq a+b+c+abc-(ab+bc+ac)\leq 1$

rất hay nhưng tớ bổ sung thêm đk dấu bằng xảy ra khi trong 3 số có 2 số bằng 1 và 1 số bằng 0




#433139 Tìm Min F = $14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+ac+bc}{a^2b+b^...

Gửi bởi taideptrai trong 05-07-2013 - 22:57

1) Cho a,b,c là các số thực dương  thỏa a + b+ c = 1. Tìm Min F = $14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+ac+bc}{a^2b+b^2c+c^2a}$

2) Cho ba số a,b,c thỏa $ 0 \leq a,b,c \leq 2$ và $ a+b+c = 3$. CMR $a^3+b^3+c^3 \leq 9$

 Giúp dùm bài này nữa nha các bạn hiền!!!!!!!!

không mất tính tổng quát coi $0\leq a\leq b\leq c\leq 2$ mà a+b+c=3

  nên $1\leq c\leq 2$ =>$(c-1)(c-2)\leq 0 <=> c^{2}-3c+2\leq 0<=> 9c^{2}-27c+18\leq 0$

ta lại có $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq (a+b)^{3}+c^{3}=(3-c)^{3}+c^{3}=9c^{2}-27c+27=(9c^{2}-27c+18)+9\leq 9$

=> đpcm

dấu bằng xảy ra khi a=0,b=1,c=2 và các hoán vị (~~)  (~~)




#433112 CMR $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}...

Gửi bởi taideptrai trong 05-07-2013 - 21:24

đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a$ => $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=a^{2}-2$

TH1 x và y cùng dấu => $\frac{x}{y}$ và $\frac{y}{x}$ dương.=>$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$ (cô si)

   hay a $geq 2$

TH2 x và y khác dấu=> $\frac{x}{y}$ và $\frac{y}{x}$  âm=> a<0<1

    suyra $(a-1)(a-2)\geq 0 <=> a^{2}-3a+2\geq 0<=>a^{2}-2+4\geq 3a$

hay $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$  (đpcm)

    dấu bắng xảy ra khi x=y




#432695 đề thi tuyển sinh 10 tỉnh Yên Bái môn toán

Gửi bởi taideptrai trong 04-07-2013 - 08:06

Bài 5: mình có cách ngắn hơn

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z} => \frac{x+y}{xy}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0 =>\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z(x+y+z)}=0 =>(x+y).\frac{xy+yz+zx+z^{2}}{xyz(x+y+z)}=0 => \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz(x+y+z)}=0$

 đến đây dễ rồi !!!!  :lol:  :lol:

đề này không khó




#427737 $\left\{\begin{matrix} x^{3}-2y^{3}=x+4y & &...

Gửi bởi taideptrai trong 15-06-2013 - 23:56

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-2y^{3}=x+4y & & \\ 6x^{2}-19xy+15y^{2}=1& & \end{matrix}\right.$




#427377 hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 có 1 pt bằng 0

Gửi bởi taideptrai trong 15-06-2013 - 10:00

$\left\{\begin{matrix}6x^{2}-19xy+15y^{2}=1 & & \\5x^{2}+15xy-31y^{2}=0 & & \end{matrix}\right.$