arsenal20101998

Câu 2a đã có ở đây http://diendantoanho...in3xsin-xcos-x/

Ta có

$(x^2+y^2)^2=(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2) \Rightarrow x+y=x^2+y^2\leq 2$

$P=3x+1+\frac{8}{\sqrt{3x+1}}+\frac{8}{\sqrt{3x+1}}+x+3y+\frac{8}{\sqrt{x+3y}}+\frac{8}{\sqrt{x+3y}}-(x+y)-1\geq 3\sqrt[3]{64}+3\sqrt[3]{64}-2-1=21$

$P=21\Leftrightarrow x=y=1$

Vậy Min P=21

BĐT cần CM tương đương

$(a+b+c)\prod (a+b-c)\leq 3a^2b^2c^2\Leftrightarrow 16S^2\leq 3a^2b^2c^2\Leftrightarrow 4S\leq \sqrt{3}abc\Leftrightarrow \frac{abc}{R}\leq \sqrt{3}abc\Leftrightarrow R\geq \frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\\sin c}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow {\sin A+\sin B+\\sin c}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Xét các góc $x;y\in \left ( 0;\pi \right )$ có 

$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\leq 2\sin \frac{x+y}{2}(0< \cos \frac{x-y}{2}<\leq 1)$

Áp dụng BĐT trên ta đc $\sin A+\sin B+\sin C+\sin \frac{\pi }{3}\leq 2\sin \frac{A+B}{2}+2\sin \frac{C+\frac{\pi }{3}}{2}\leq 4\sin \frac{A+B+C+\frac{\pi }{3}}{4}=4\sin \frac{\pi }{3}(A+B+C=\pi )$

Suy ra $\sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin \frac{\pi }{3}= \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy ta có dpcm

PT tương đương $2\sqrt{2}\sin x\cos x+2\sqrt{2}\cos ^2x-\cos 2x=3\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+(\sqrt{2}-1)\cos 2x=3-\sqrt{2}$

(PT lượng giác cơ bản)

ĐK $x\geq 0$

Ta thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình

Nếu $x>1$ thì $4x>3x+1;2x+2>x+3$

Do đó$VT>VP$

Tương tự $x< 1$ thi $VT< VP$

Vậy X=1 là nghiệm duy nhất