Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


arsenal20101998

Đăng ký: 18-04-2013
Offline Đăng nhập: 13-06-2017 - 00:07
-----

#464109 Tìm min $P=3x+2y+\frac{16}{\sqrt{x+3y...

Gửi bởi arsenal20101998 trong 13-11-2013 - 19:18

Ta có

$(x^2+y^2)^2=(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2) \Rightarrow x+y=x^2+y^2\leq 2$

$P=3x+1+\frac{8}{\sqrt{3x+1}}+\frac{8}{\sqrt{3x+1}}+x+3y+\frac{8}{\sqrt{x+3y}}+\frac{8}{\sqrt{x+3y}}-(x+y)-1\geq 3\sqrt[3]{64}+3\sqrt[3]{64}-2-1=21$

$P=21\Leftrightarrow x=y=1$

Vậy Min P=21




#463893 cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 3.cmr $\le...

Gửi bởi arsenal20101998 trong 12-11-2013 - 19:43

BĐT cần CM tương đương

$(a+b+c)\prod (a+b-c)\leq 3a^2b^2c^2\Leftrightarrow 16S^2\leq 3a^2b^2c^2\Leftrightarrow 4S\leq \sqrt{3}abc\Leftrightarrow \frac{abc}{R}\leq \sqrt{3}abc\Leftrightarrow R\geq \frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\\sin c}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow {\sin A+\sin B+\\sin c}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Xét các góc $x;y\in \left ( 0;\pi \right )$ có 

$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\leq 2\sin \frac{x+y}{2}(0< \cos \frac{x-y}{2}<\leq 1)$

Áp dụng BĐT trên ta đc $\sin A+\sin B+\sin C+\sin \frac{\pi }{3}\leq 2\sin \frac{A+B}{2}+2\sin \frac{C+\frac{\pi }{3}}{2}\leq 4\sin \frac{A+B+C+\frac{\pi }{3}}{4}=4\sin \frac{\pi }{3}(A+B+C=\pi )$

Suy ra $\sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin \frac{\pi }{3}= \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy ta có dpcm




#463633 $tanx-cosx-sinx=0$

Gửi bởi arsenal20101998 trong 11-11-2013 - 19:19

PT tương đương $2\sqrt{2}\sin x\cos x+2\sqrt{2}\cos ^2x-\cos 2x=3\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x+(\sqrt{2}-1)\cos 2x=3-\sqrt{2}$

(PT lượng giác cơ bản)




#463215 $\left\{\begin{matrix} 2x+x^{2}y...

Gửi bởi arsenal20101998 trong 10-11-2013 - 09:24

B1:

Nếu $x=0$ thì dễ dàng suy ra $y=z=0$

Xét$x,y,z\neq 0$

Hệ đã cho tương đương

$\left\{\begin{matrix} (\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{z})^2=4+\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}\\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2=5+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2} \end{matrix}\right.$

Cọng các vế lại, ta được

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=12+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Đến đây tìm đc $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ và thế vào các pt, ta tìm được $x,y,z$




#461894 CMR: $a^{2}+b^{2}\leqslant 1+ab$

Gửi bởi arsenal20101998 trong 03-11-2013 - 19:12

BĐT cân cm tương đương

$(a^3+b^3)(a^2+b^2)\leq (1+ab)(a^5+b^5)\Leftrightarrow ab(a^5+b^5)\geq a^2b^2(a+b)\Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0$ 

(luôn đúng)




#461448 $\frac{4x}{x^{2}+x+3}+\frac...

Gửi bởi arsenal20101998 trong 02-11-2013 - 07:38

Bài 2

Pt đã cho tương đương

$2-\frac{3}{x+2}-\frac{11}{x+6}=2-\frac{5}{x+3}-\frac{9}{x+5} \Leftrightarrow \frac{14x+40}{x^2+8x+12}=\frac{14x+52}{x^2+8x+15} \Leftrightarrow \frac{-2x^2-9x-4}{x^2+8x+12}=\frac{-2x^2-9x-4}{x^2+8x+15}$ (chia 2 vế cho 2 và trừ đi 2)

$\Leftrightarrow -2x^2-9x-4=0\Leftrightarrow x=-4$ hoặc $x=-\frac{1}{2}$




#427685 CMR : $(9^{n}+3^{n}+1)\vdots 13$ với n tự...

Gửi bởi arsenal20101998 trong 15-06-2013 - 22:05

Ta có $9^{n}+3^{n}+1=\frac{27^{n}-1}{3^{n}-1}$

Tử số chia hết cho 13

Mà $n$ không chia hết cho 3 nên mẫu không chia hết cho 13

Suy ra $A\vdots 13$ (do 13 nguyên tố)




#425121 Đề tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán PTNK 2013 - 2014

Gửi bởi arsenal20101998 trong 08-06-2013 - 17:47

Câu 2 bài 2 thì xét tổng $\overline{abcde}+\overline{abc}-(10d+e)=101\overline{abc}\vdots 101$ nên chỉ cần tìm số các số có 5 chữ số chia hết cho 101 thôi




#423253 $(x+\sqrt{x^{2}+2})(y+\sqrt{y^{2...

Gửi bởi arsenal20101998 trong 02-06-2013 - 20:38

Tính giá trị của biểu thức :  $x\sqrt{y^{2}+2}+y\sqrt{x^{2}+2}$ khi $(x+\sqrt{x^{2}+2})(y+\sqrt{y^{2}+2})=2$

ĐK đã cho tương đương

$\frac{2}{\sqrt{x^2+2}-x}*\frac{2}{\sqrt{y^2+2}-y}=2$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+2}-x)(\sqrt{y^2+2}-y)=2=(\sqrt{x^2+2}+x)(\sqrt{y^2+2}+y)$

Khai triển ra và rút gọn ta được $-x\sqrt{y^2+2}-y\sqrt{x^2+2}=x\sqrt{y^2+2}+y\sqrt{x^2+2}$

Suy ra biểu thức cần tính có giá trị là 0




#422654 $a^{202}+b^{202}\geq a^{201}+b^{...

Gửi bởi arsenal20101998 trong 31-05-2013 - 21:19

Từ điều kiện đã cho suy ra $a^{200}\left ( a-1 \right )+b^{200}\left ( b-1 \right )>0$

BDT đã cho tương đương $a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right )\geq 0$

Ta chứng minh $a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right ) > $a^{200}\left ( a-1 \right )+b^{200}\left ( b-1 \right )

Thật vậy, xét hiệu

$a^{201}\left ( a-1 \right )+b^{201}\left ( b-1 \right )-$a^{200}\left ( a-1 \right )-b^{200}\left ( b-1 \right ) = $a^{200}(a-1)^2+b^{200}(b-1)^2\geq$0

Suy ra dpcm




#421311 $\frac{abc\left ( 1-\sum a \right )}{...

Gửi bởi arsenal20101998 trong 26-05-2013 - 19:45

Đặt $\frac{a}{1-a}=x; \frac{b}{1-b}=y;\frac{c}{1-c}=z;\frac{1-a-b-c}{a+b+c}=t$

Dễ dàng tính được $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{t+1}=3$

Bài toán quy về chứng minh $xyzt\leq \frac{1}{81}$

Ta có:

$\frac{1}{1+x}=1-\frac{1}{1+y}+1-\frac{1}{1+z}+1-\frac{1}{1+t}=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}+\frac{t}{1+t}$

$\Rightarrow \frac{1}{1+x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{yzt}{(1+y)(1+z)(1+t)}}$

CMTT rồi nhân các BDT lại và thu gọn ta được dpcm




#421231 Đề thi thử lớp 10 THPT chuyên KHTN môn toán vòng 2 đợt 4

Gửi bởi arsenal20101998 trong 26-05-2013 - 12:22

Câu I:

1) Với a,b,c>0. ab+ac+bc =1 .CMR:

               

                $\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}-\frac{c}{1+c^{2}}=\frac{2ab}{\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}}$

 

2) Giải phương trình:  $4x + \sqrt{3x^{2}+10x+3}=2x\sqrt{3x+1}+2\sqrt{x+3}$

 

 

Câu II:

1) Số 27000001 có đúng 4 ước nguyên tố,hãy tính tổng của chúng.

 

2) CMR:

                $\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\frac{1}{6\sqrt{4}}+...+\frac{1}{2n\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>1$

 

 

Câu III: Cho tam giác ABC.(K) đi qua B,C sao cho luôn cắt AB,AC tại F,E khác B,C.BE giao CF tại H.M là trung điểm EF.Gọi P,Q là điểm đối xứng của A qua BE,CF.

1) CMR:(I) ngoại tiếp tam giác HPE và (J) ngoại tiếp tam giác HQF cắt nhau trên AM.

2) CMR: (I) và (J) có bán kính bằng nhau.

 

 

Câu IV: x,y,z >0 thoả mãn $\Sigma \frac{1}{x}=2$

 

                                                   CMR: $\Sigma \sqrt{x+1}\leq \sqrt{5(\Sigma x)}$

 

Có ai ở đây đi thi ko?Tình hình làm bài thế nào? :biggrin:Mình cũng bình thường.

Cách khác câu IV

$VT=\sum \sqrt{x(1+\frac{1}{x})}$

$VT^2\leq (x+y+z)(1+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}+1+\frac{1}{z})=5(x+y+z)$ (Bu-nhi-a-cốp-xki)

Từ đây có dpcm




#421040 Đề thi thử lớp 10 THPT chuyên KHTN đợt 4 vòng 1

Gửi bởi arsenal20101998 trong 25-05-2013 - 19:15

Câu III (nhờ mọi người vẽ hình hộ)

a)

Tứ giác ALFM nội tiếp nên

$\angle LAM =\angle EFD$

Mà $\angle EFD =\frac{1}{2}\angle EID=\angle DIC=\angle DEC= \angle AED =\angle AMK$

Nên $\angle LAM =\angle AMK$

$\Rightarrow AL$ song song $MK$

CMTT ta được LM song song AK

$\Rightarrow$ Tứ giác ALMK là hình bình hành

Đến đây dễ dàng suy ra đpcm

b) Dễ thấy

LM song song QE ; MK song song PF (tính chất đường trung bình)

Nen nếu QE cắt FP tại N; LM cắt FP tại X ; FP cất QE tại Y thì NXMY là hình bình hành

$\Rightarrow$ $\angle PNE =\angle LMK=\angle LAK$

$\Rightarrow \angle FNE +\angle FDE =180$

Suy ra tứ giác FNED nội tiếp

Dễ dàng suy ra dpcm




#419783 Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$.

Gửi bởi arsenal20101998 trong 20-05-2013 - 19:19

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh

$$\frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{1}{a^2+7}+\frac{1}{b^2+7}+\frac{1}{c^2+7}$$

Ta có:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+2b+c}$

Mà $a^2+1\geq 2a$ ; $2(b^2+1)\geq4b$ ; $c^2+1\geq 2c$

$\Rightarrow a^2+2b^2+c^2+4\geq 2(a+2b+c)$

$\Rightarrow b^2+7\geq 2(a+2b+c)$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{8}{b^2+7}$

Chứng minh tương tự rồi cộng các BDT lại ta có dpcm




#418382 Tìm các số có dạng $\overline{xy2}\vdots 28$

Gửi bởi arsenal20101998 trong 14-05-2013 - 18:59

Chào tất cả các bạn.

Mình không học Toán chuyên sâu nên mong các bạn giúp mình giải 3 bài toán chia hết. Máy tính của mình bị lỗi, bật TEX là tự động treo máy nên mình xin up file ảnh lên. Cảm ơn các bạn nhiều nhiều.

4181.jpg

Mình làm bài 3 trước

$n+1\vdots 25\Rightarrow n$ có thể có 2 c/s tận cùng là 99;24;49;74

Mà$n+2\vdots 4\Rightarrow$ n có 2 c/s tận cùng là 74

Nhung $n\vdots 9$ nên só n nhỏ nhất thoả mãn là 774

Bài 2

$\overline{xy2}\vdots 4\Rightarrow y$ lẻ$\overline{xy2}\vdots 7\Rightarrow \overline{xy}-4\vdots 7$

Từ đó tìm được các số thoã mãn

Bài 1

Ta có ; $a^{101}-a^{100}\equiv 67 (mod 73) \Rightarrow a^{100}(a-1)\equiv 67 (mod73)\Rightarrow a\equiv 71(mod73)$