Gemini Shin

Chứng minh rằng $\sqrt2; \sqrt3; \sqrt5; ...$ là các số vô tỉ

Giả sử: $\sqrt{3}$ là số hữu tỉ.

$\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{x}{y}$ với: $x,y\epsilon Z$$y\neq 0$và$(x;y)=1$

$\Rightarrow 3=\frac{x^2}{y^2}$$\Leftrightarrow 3y^2=x^2$

$\Rightarrow x^2\vdots 3\Rightarrow x\vdots 3\Rightarrow x=3k (k\epsilon Z)\Rightarrow x^2=9k^2$

$\Rightarrow 3y^2=9k^2\Leftrightarrow y^2=3k^2$

$\Rightarrow y=3l$

$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{3k}{3l}$

$\Rightarrow (x;y)\neq 1$ (Trái giả thiết)

$\Rightarrow \sqrt{3}$ là số vô tỉ

1.chung minh rang:

a)$\frac{3}{(1.2)^2}+\frac{5}{(2.3)^2}+\frac{7}{(3.4)^2}+...+\frac{19}{(9.10)^2}<1$

 

$gt=\frac{1+2}{1^2.2^2}+\frac{2+3}{2^2.3^2}+\frac{3+4}{3^2.4^2}+...+\frac{9+10}{9^2.10^2}$

$= \frac{2^2}{1^2.2^2}-\frac{1^2}{1^2.2^2}+\frac{3^2}{2^2.3^2}-\frac{2^2}{2^2.3^2}+\frac{4^2}{3^2.4^2}-\frac{3^2}{3^2.4^2}+...+\frac{10^2}{9^2.10^2}-\frac{9^2}{9^2.10^2}$

$=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}-\frac{1}{10^2}$

$=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}< 1$

$A=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}  và B=2^{6}-1$

Ta có: B=$2^6-1=(2-1)(2+2^2+2^3+2^4+2^5+1)=1+2+2^2+2^3+2^4+2^5\Rightarrow A=B$

Câu 34: Cái gì luôn ở trước bạn, nhưng bạn không bao giờ nhìn thấy?
Câu 35: Vào lúc nào thì đồng hồ gõ 13 tiếng?

 

 

Câu 34: là tương lai

Câu 35: là lúc bạn phải đi mua đồng hồ mới.

 

Mình xin góp mấy câu nhé   
Câu 33: Có một tàu điện ngầm đi về hướng nam. Gió hướng tây bắc. Vậy khói từ con tàu sẽ theo hướng nào?

 

Tàu điện thì làm gì có khói hở bạn. ^^

 

Ta có: $\frac{x^2-yz}{x(1-yz)}=\frac{y^2-xz}{y(1-xz)}\Leftrightarrow \frac{x^2-yz}{x-xyz}=\frac{y^2-xz}{y-xyz}$

và: $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\Leftrightarrow x+y+z=\frac{xy+xz+yz}{xyz}\Leftrightarrow xyz=\frac{xy+xz+yz}{x+y+z}$

Giả sử: Với $\frac{x^2-yz}{x(1-yz)}=\frac{y^2-xz}{y(1-xz)}$ thì $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

$\Rightarrow \frac{x^2-yz}{x-\frac{xy+xz+yz}{x+y+z}}=\frac{y^2-xz}{y-\frac{xy+xz+yz}{x+y+z}}\Leftrightarrow \frac{x^2-yz}{\frac{x^2+xy+xz-xy-xz-yz}{x+y+z}}=\frac{y^2-xz}{\frac{xy+y^2+yz-xy-xz-yz}{x+y+z}}\Leftrightarrow (x^2-yz).\frac{x+y+z}{x^2-yz}=(y^2-xz).\frac{x+y+z}{y^2-xz}\Leftrightarrow x+y+z=x+y+z$ (điều hiển nhiên) 

Vậy giả thiết lúc đầu đúng => đpcm

Ừ nhỉ, sai mất rồi. Cám ơn bạn nhé

Câu 2: $\left\{\begin{matrix} x+2y=10\\ \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+2y=10\\ 3x-2y=6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x=16\\x+2y=10 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4\\y=3 \end{matrix}\right.$

Câu 1: $A=\sqrt{x(x-4)+4}\Leftrightarrow A=\sqrt{x^{2}-4x+4}\Leftrightarrow A=\sqrt{(x-2)^{2}}\Leftrightarrow A=|x-2|$

Khi x=$\sqrt{3}$, ta có: $\sqrt{3}-2$ <0. $\Rightarrow A=2-\sqrt{3}$

Câu 1: Rút gọn: $A=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

 

Câu 2: Cho $\alpha$là góc nhọn. Chứng minh: $sin^{6}\alpha +cos^{6}\alpha +3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha =1$

 

Câu 3: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}-6(x+y)=-8 \\ x-y=6 \end{matrix}\right.$

 

Câu 4: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+2\sqrt{3}x+3}+2x=4\sqrt{3}$

 

Câu 5: Cho $\DeltaABC$, lấy điểm M nằm giữa B và C, lấy điểm N nằm giữa A và M. Biết $S_{\Delta ABM}$và $S_{\Delta NBC}$đều bằng $10m^{2}$, $S_{\Delta ANC}=9m^{2}$. Tính $S_{\Delta ABC}$

 

Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy (đơn vị trêb 2 trục toạ độ bằng nhau) cho A(6;0), B(3;0), C(0;-4), D(0;-8). Đường thẳng AC cătf đường thẳng BD tại M. Tính độ dài đoạn OM.

 

Câu 7: Cho phương trình bậc hai $x^{2}-3(m+1)x-m^{2}-15=0$ (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa hệ thức $2x_{1}-x_{2}=-12$

 

Câu 8: Cho $\DeltaABC$ cân tại A nôi tiếp (O). Trên tia đối của tia AC lấy điểm D và trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho AD=BE. Chứng minh tứ giác DAOE nội tiếp.

 

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=x-2\sqrt{x-5}$

 

Câu 10: Tìm số tự nhiên n để n+4 và n+11 đều là số chính phương.

 

Câu 11: Cho $\DeltaABC$ cân tại A, lấy điểm D nằm giữa B và C, lấy điểm E nắm giữa A và B, lấy điểm F nằm giữa A và C sao cho $\widehat{EDF}=\widehat{B}$. Chứng minh $BE.CF\leq \frac{BC^{2}}{4}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào??

 

Câu 12: Cho (O) đường kính AB, M là 1 điểm trên đường tròn (M$\neq$A và B), kẻ MH vuông góc với AB tại H. Đường tròn tâm M bán kính MH cắt (O) tại C và D, Đoạn CD cắt MH tại I. Chứng minh I là trung điểm của MH

ak. đặt nhân tử chung. ngớ ngẩn thật. ^^

untitled.JPG

 

mình xin mượn hình của bạn BlueKnight để giải câu b theo 1 hướng khác. 

   Từ C, kẻ đường thẳng vuông góc với CI tại C. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AI tại A. 2 đường thẳng này cắt nhau tại M. Từ đó, ta dễ chứng minh được tứ giác AICM là từ giác nội tiếp đường tròn.=> A, I, C, M cùng thuộc 1 đường tròn.

mà A, I, C cùng thuộc đường tròn (J) (J là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AIC$) => M thuộc (J) => IM là đường kính của (J) => I, M, J thẳng hàng. (1)

    Trong $\Delta ABC$, ta có: $AM\perp AI$ (cách vẽ) mà AI là phân giác $\widehat{BAC}$. =>AM là phân giác của góc ngoài tại đỉnh A. 

Tương tự, CM là phân giác góc ngoài tại C. => M là tâm đường tròn bàng tiếp $\Delta ABC$ => BM là tia phân giác của góc trong ABC. mà BI cũng là phân giác BIC. =>B, I, M thẳng hàng. (2)

      Từ (1; 2) B, I, M, J thẳng hàng. => B, I, J thẳng hàng,

Biến đổi tương đương, ta có

$\frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a} \Leftrightarrow \frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{b}\geq \frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{a}\Rightarrow a\geq b???$

Đề thiếu điều kiện chăng

ko đâu. đề đủ dk đấy, lúc đầu mình cũng nhầm vậy. bạn thử hướng khác đi. 

Câu 1: Tính: $M=\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{5}{12}-\frac{1}{\sqrt{6}}}$

 

Câu 2: Giải phương trình: $5x^{2}+5y^{2}+8xy-2x+2y+2=0$

 

Câu 3: Cho $\large \Delta ABC$ cân tại A. Goi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết $\large IA=2\sqrt{5}cm$; IB - 3 cm. Tính AB.

 

Câu 4: Cho $\large \Delta ABC$ cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy E sao cho $\large \widehat{DAE}=\widehat{ABD}$. Chứng minh: AE=2ED

 

Câu 5: Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì phân số $\large \frac{21n+4}{14n+3}$ tối giản.

 

Câu 6: Cho $\large \Delta ABC$ vuông tại A, đường phân giác góc trong tại đỉnh B và đường phân giác góc ngoài tại đỉnh A cắt nhau tại D. Tính $\large \widehat{BDC}$.

 

Câu 7: Một số tự nhiên a được viết bằng 2013 chữ số 9. Tính tổng của các chữ số của số $\large n=a^{2}+1$

 

Câu 8: Cho $\large x\neq y$ & $\large x^{2}+y=x+y^{2}$. Tính giá trị của $\large A=\frac{x^{2}+y^{2}+xy}{xy-1}$

 

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\large A=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-2xy+2xz-2x-2y-8z=2020$

 

Câu 10: Cho a>0, b>0. Chứng minh: $\large \frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a}$

 

Câu 11: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn (O), từ B và C kẻ 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D, cát tuyến DEF song song AB cắt AC tại I. Chứng minh: IE = IF

 

Câu 12: Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{BAC}>90^{\circ}$. Đường trung trực d của AC cắt BC tại M. Lấy N bất kì thuộc d. Chứng minh: 2AM < NB + NC

 

Câu 13: Tìm các số nguyên n sao cho n+2004 và n+1945 là các số chính phương.

 

Câu 14: Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình: $kx^{2}-(1-2k)x+k-2=0$ luôn có nghiệm hữu tỉ.

 

Câu 15: Cho (O) và đường thẳng d không cắt đường tròn. Kẻ OA vuông góc với d tại A. Từ A vẽ cát tuyến ABC với đường tròn. Hai tiếp tuyến tại B và C cắt d lần lượt tại D và E. Chứng minh AD=AE

Câu 1: Tính giá trị A = $\sqrt{21-12\sqrt{3}}$ - $\frac{1}{\sqrt{13+4\sqrt{3}}}$
 
Câu 2: Giải phương trình: $(x-3)(x-2)(x+3)(x+4) = 7$
 
Câu 3: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Qua C $\epsilon$ nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến xy với nửa đường tròn. M, N là hình chiếu của A, B trên và H là hình chiếu của C trên AB. Chứng minh $CM^{2} = AM.BN$
 
Câu 4: Cho x, y thỏa điều kiện $3x + y =1$. Tìm $max_{B} = 2xy$
 
Câu 5: Cho a+b+c=0. Chứng minh $a^{4}+b^{4}+c^{4}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
 
Câu 6: Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x+y+xy=7\\ x^{2}+y^{2}+xy=13\\ \end{matrix}\right.$
 
Câu 7: Cho phương trình: $ax^{2}+bx+c=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{1}x_{2}$
            Chứng minh $cx^{2}+bx+a=0$ cũng có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{3}x_{4}$
 
Câu 8: Cho m, n là 2 số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh: $mn-m-n+1\vdots 192$
 
Câu 9: Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại A. Từ P trên BC kẻ $PK\perp AC$, $PL\perp AB$. M là trung điểm BC. Lấy I $\epsilon$
 AM sao cho M là trung điểm AI. Chứng minh $IP>KL$
 
Câu 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}c{}\geq a+b+c$