Gemini Shin

Câu 1: Rút gọn: $A=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

 

Câu 2: Cho $\alpha$là góc nhọn. Chứng minh: $sin^{6}\alpha +cos^{6}\alpha +3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha =1$

 

Câu 3: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}-6(x+y)=-8 \\ x-y=6 \end{matrix}\right.$

 

Câu 4: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+2\sqrt{3}x+3}+2x=4\sqrt{3}$

 

Câu 5: Cho $\DeltaABC$, lấy điểm M nằm giữa B và C, lấy điểm N nằm giữa A và M. Biết $S_{\Delta ABM}$và $S_{\Delta NBC}$đều bằng $10m^{2}$, $S_{\Delta ANC}=9m^{2}$. Tính $S_{\Delta ABC}$

 

Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy (đơn vị trêb 2 trục toạ độ bằng nhau) cho A(6;0), B(3;0), C(0;-4), D(0;-8). Đường thẳng AC cătf đường thẳng BD tại M. Tính độ dài đoạn OM.

 

Câu 7: Cho phương trình bậc hai $x^{2}-3(m+1)x-m^{2}-15=0$ (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa hệ thức $2x_{1}-x_{2}=-12$

 

Câu 8: Cho $\DeltaABC$ cân tại A nôi tiếp (O). Trên tia đối của tia AC lấy điểm D và trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho AD=BE. Chứng minh tứ giác DAOE nội tiếp.

 

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=x-2\sqrt{x-5}$

 

Câu 10: Tìm số tự nhiên n để n+4 và n+11 đều là số chính phương.

 

Câu 11: Cho $\DeltaABC$ cân tại A, lấy điểm D nằm giữa B và C, lấy điểm E nắm giữa A và B, lấy điểm F nằm giữa A và C sao cho $\widehat{EDF}=\widehat{B}$. Chứng minh $BE.CF\leq \frac{BC^{2}}{4}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào??

 

Câu 12: Cho (O) đường kính AB, M là 1 điểm trên đường tròn (M$\neq$A và B), kẻ MH vuông góc với AB tại H. Đường tròn tâm M bán kính MH cắt (O) tại C và D, Đoạn CD cắt MH tại I. Chứng minh I là trung điểm của MH

Câu 1: Tính: $M=\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{5}{12}-\frac{1}{\sqrt{6}}}$

 

Câu 2: Giải phương trình: $5x^{2}+5y^{2}+8xy-2x+2y+2=0$

 

Câu 3: Cho $\large \Delta ABC$ cân tại A. Goi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết $\large IA=2\sqrt{5}cm$; IB - 3 cm. Tính AB.

 

Câu 4: Cho $\large \Delta ABC$ cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy E sao cho $\large \widehat{DAE}=\widehat{ABD}$. Chứng minh: AE=2ED

 

Câu 5: Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì phân số $\large \frac{21n+4}{14n+3}$ tối giản.

 

Câu 6: Cho $\large \Delta ABC$ vuông tại A, đường phân giác góc trong tại đỉnh B và đường phân giác góc ngoài tại đỉnh A cắt nhau tại D. Tính $\large \widehat{BDC}$.

 

Câu 7: Một số tự nhiên a được viết bằng 2013 chữ số 9. Tính tổng của các chữ số của số $\large n=a^{2}+1$

 

Câu 8: Cho $\large x\neq y$ & $\large x^{2}+y=x+y^{2}$. Tính giá trị của $\large A=\frac{x^{2}+y^{2}+xy}{xy-1}$

 

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\large A=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-2xy+2xz-2x-2y-8z=2020$

 

Câu 10: Cho a>0, b>0. Chứng minh: $\large \frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a}$

 

Câu 11: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn (O), từ B và C kẻ 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D, cát tuyến DEF song song AB cắt AC tại I. Chứng minh: IE = IF

 

Câu 12: Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{BAC}>90^{\circ}$. Đường trung trực d của AC cắt BC tại M. Lấy N bất kì thuộc d. Chứng minh: 2AM < NB + NC

 

Câu 13: Tìm các số nguyên n sao cho n+2004 và n+1945 là các số chính phương.

 

Câu 14: Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình: $kx^{2}-(1-2k)x+k-2=0$ luôn có nghiệm hữu tỉ.

 

Câu 15: Cho (O) và đường thẳng d không cắt đường tròn. Kẻ OA vuông góc với d tại A. Từ A vẽ cát tuyến ABC với đường tròn. Hai tiếp tuyến tại B và C cắt d lần lượt tại D và E. Chứng minh AD=AE

Câu 1: Tính giá trị A = $\sqrt{21-12\sqrt{3}}$ - $\frac{1}{\sqrt{13+4\sqrt{3}}}$
 
Câu 2: Giải phương trình: $(x-3)(x-2)(x+3)(x+4) = 7$
 
Câu 3: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Qua C $\epsilon$ nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến xy với nửa đường tròn. M, N là hình chiếu của A, B trên và H là hình chiếu của C trên AB. Chứng minh $CM^{2} = AM.BN$
 
Câu 4: Cho x, y thỏa điều kiện $3x + y =1$. Tìm $max_{B} = 2xy$
 
Câu 5: Cho a+b+c=0. Chứng minh $a^{4}+b^{4}+c^{4}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
 
Câu 6: Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x+y+xy=7\\ x^{2}+y^{2}+xy=13\\ \end{matrix}\right.$
 
Câu 7: Cho phương trình: $ax^{2}+bx+c=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{1}x_{2}$
            Chứng minh $cx^{2}+bx+a=0$ cũng có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{3}x_{4}$
 
Câu 8: Cho m, n là 2 số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh: $mn-m-n+1\vdots 192$
 
Câu 9: Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại A. Từ P trên BC kẻ $PK\perp AC$, $PL\perp AB$. M là trung điểm BC. Lấy I $\epsilon$
 AM sao cho M là trung điểm AI. Chứng minh $IP>KL$
 
Câu 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}c{}\geq a+b+c$

Câu 1:  $\frac{2013}{2014}+\sqrt{1+2013^{2}+\frac{2013^{2}}{2014^{2}}}$

 

Câu 2:  Cho phương trình: $2x^{2}+6x+m=0$  tìm m để pt luôn có 2 ngiệm phân biệt thỏa: $\frac{x_{_{1}}}{x_{2}}+\frac{x_{2}^{}}{x_{1}}\geqslant 2$

Câu 3:  Với x,y,z là các số dương thỏa: $(x^{2}+1)(y^{2}+4)(z^{2}+9)=48xyz$

Tính A = $\frac{x^{3}+y^{^{3}}+z^{^{3}}}{(x+y+z)^{3}}$

 

Câu 4: Tính: M = $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+.........+\sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

 

Câu 5: Giả sử phương trình: $x^{2}+mx+n+1=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt. Chứng minh $m^{2}+n^{2}$ là hợp số.

 

Câu 6: Với $m^{2}+4n^{2}< 4m+n$ . Cm trong 2 pt sau có ít nhất pt vô nghiệm: 

$x^{2}-2mx+n-1=0$ (1) và  $x^{2}-4nx+4m+1=0$ (2)

 

Câu 7: Cho$\Delta ABC$ vuông tại A. dg cao AH. trên AH lấy D; trên tia đối của tia HA lây E sao cho AD = HE. Đường vuông góc với AH tại D cắt AC tại F. Chứng minh: BE vuông góc với EF

 

Câu 8: Cho $\Delta ABC$ cân tại A, (góc A nhọn). Vẽ đường cao AD. H là trực tâm. AH = 14cm, BH = HC = 30cm. Tính AD

 

Câu 9: Cho $\Delta ABC$ nhọ, đường cao AH. Từ A kẻ đường thẳng d vuông góc với AC. Từ B Vẽ d' song song với AC. M là giao của d và d'. Nối M với trung điểm I của AB, MI cắt AC tại N, BN cắt AH tại O. Chứng minh: CO vuông góc với AB