bachhammer

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI VÒNG QUỐC GIA

Năm học 2014 – 2015

Câu 1: Giải phương trình: $\sqrt{3-2\sqrt{3-4sinx}}=2sinx$

Câu 2: Cho các số x, y thỏa mãn: $0<x\le 1,0<y\le 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$F=\frac{x^5+y+4}{x} +\frac{y^4-2y^3+x}{y^2}$

Câu 3: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1, u_{n+1}=3u_n+a, \forall n\in \mathbb{N}, n\ge 1$ và a là số nguyên tố. Xét dãy $(v_n): v_n=u_n+b, b\in \mathbb{N}$. Tìm a và b sao cho $(v_n)$ là một cấp số nhân. Từ đó tìm số hạng tổng quát của $(v_n)$.

Câu 4: Cho đa thức $P(x)=x^4+ax+a, a\in \mathbb{R}$. Xác định a để P(x) có nghiệm thực và chứng minh rằng với $a\ge \frac{256}{27}$ thì nghiệm $x_0$ của P(x) thỏa mãn: $x_{0}^2 < 2a^2+1$.

Cấu 5: Tổ 1 gồm có 7 người nam và 5 người nữ. Trong 7 người nam đó có tổ trưởng tên là A. Thầy chủ nhiệm phân công tổ 1 trực nhật 6 ngày trong tuần, mỗi người đều phải trực một ngày và mỗi ngày đều có hai người trực.

1) Có bao nhiêu cách phân công tổ 1 trực nhật một tuần?

2) Một cách phân công trực nhật được gọi là cách phân công “tốt” nếu trong cách phân công đó có A là người trực ngày đầu tiên và có đúng một ngày trong tuần cả hai người trực nhật đều là nam. Lấy ngẫu nhien một cách phân công trực nhật, tìm xác suất lấy được cách phân công “tốt”.

Câu 6: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích bằng S. Tia AB và tia DC cắt nhau tại E. Dựng đường thẳng d vuông góc với BC tại F sao cho $\Delta ADE$ nằm về một phía so với d. Các đoạn HF và FK lần lượt là hình chiếu vuông góc của các hình ABCD và BCE trên đường thẳng d. Ký hiệu đường tròn ngoại tiếp $\Delta EAD$ là $(O_1;R_1)$; đường tròn ngoại tiếp $\Delta EBC$ là $(O_2;R_2)$. Biết diện tích $\Delta BCE$ bằng 2S.

1) Chứng minh rằng $\frac{FK}{HF}\le 2+\sqrt {6}$.

2) Chứng minh rằng: nếu $\frac{FK}{HF}=2+\sqrt{6}$ thì $(O_1;R_1)$ và $(O_2;R_2)$ tiếp xúc nhau. Khi đó tính $\frac{R_1}{R_2}$.

ĐỀ THI HSG TỈNH CÀ MAU NĂM HỌC 2014 - 2015

Câu 1: (6.0đ) 1) Giải phương trình: $x=2-(2-x^{2})^{2}$

                      2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy-y=3x\\3x^2-2y^2+y=3x \end{matrix}\right.$

Câu 2: (3.5đ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\frac{\sqrt{2x-x^2}+2}{1+\sqrt{2x-x^2}}$ trên đoạn $[\frac{1}{4};\frac{3}{2}]$.

Câu 3: (4.0đ) 

   1) Ba góc $\alpha,\beta,\gamma\in(0;\frac{\pi}{2})$ thỏa mãn: $cos(\alpha-\beta)=1,sin(\beta+2\gamma)=0$. Chứng minh rằng: $cos\alpha+cos\beta+cos\gamma \le \frac{3}{2}$.

   2) Biết $\frac{1006}{2013}<\frac{a}{b}<\frac{1007}{2015};a,b \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh: $a \ge 2013$.

Câu 4: (3.5đ) 

   Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có thể tích bằng 1. Tam giác ABC vuông cân tại A và có diện tích bằng nửa diện tích của tam giác AA'C. Điểm M di động trên AB và điểm N di động trên A'C' sao cho $AM=C'N>0$. Gọi I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng: I luôn luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất trong các khoảng cách từ I đến đường thẳng AA' khi MN thay đổi.

Câu 5: (3.0đ)

   Cho tập hợp A có n phần tử ($n>1$) và đánh dấu n phần tử đó là $a_1,a_2,...,a_k,...,a_n$. Sắp xếp n phần tử của A thành dãy hàng ngang theo thứ tự từ trái sang phải, gọi dãy như vậy là dãy (*). Gán cho phần tử $a_k$ ($k=1,2,...,n$) trong dãy (*) một giá trị $G_k$ theo qui tắc sau:

 + Nếu $a_k$ đứng ở vị trí đầu tiên trong dãy (*) thì $G_k=1$;

 + Gỉa sử $a_k$ đứng từ vị trí thứ hai trở đi và phần tử $a_i$ đứng bên trái $a_k$ thì $G_k=k$ nếu $k>i$ và $G_k=1$ nếu $k<i$.

  Đặt $S=G_1+G_2+...+G_n$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S đạt được khi các dãy (*) thay đổi.

  Tìm số phần tử của tập A trong mỗi trường hợp sau:

 1) Biết $M-m=15$.

 2) Cả hai giá trị M và m đều là số nguyên tố.

---------- HẾT ----------

P/s: Đề năm nay đúng là hay hơn năm ngoái xa.....và cũng khó xa!!!

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) cho trước kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là tiếp điểm). Trên đường thẳng AB lấy điểm D bất kì không trùng với A, B. Gỉa sử DO cắt AC tại E. Kẻ tiếp tuyến EF khác EC của (O) (F là tiếp điểm). BF cắt AO tại G. Chứng minh $AG \perp EF$.

Biện luận theo $n$ ($n$ nguyên dương) và $a$ (a là số thực) về số nghiệm của phương trình: $x^{n}-[x+n]=a$.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và I là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ấy. AI cắt (O) tại D và cắt BC tại E. Tiếp tuyến tại D cắt AB tại F. Chứng minh rằng nếu FD = FE thì CA = CB.