deathavailable

 

Ngày thi thứ hai

 

Câu IV. Cho $a,b\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{Z^+}$. CMR

$A=b^{n-1}a(a+b)(a+2b)...[a+(n-1)b]$ chia hết cho $n!$

 

Câu V. Cho tứ giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $I,J$ lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác $BAD,CAD$. Gọi $DI,AJ$ lần lượt cắt $(O)$ tại $S,T$. Đường thẳng $IJ$ cắt $AB,CD$ tại $M,N$.

a) Chứng minh rằng $SM,TN$ cắt nhau trên đường tròn $(O)$

b) Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABN$ cắt $CD$ tại $P$ khác $N$. $(CDM)$ cắt $AB$ tại $Q$ khác $M$. Chứng minh rằng $PQ$ đi qua tâm nội tiếp hai tam giác $ABC$ và $DBC$

 

Câu VI. Cho $x,y,z>0$ và $xy+yz+xz=1$. CMR

$\frac{x}{\sqrt{yz}+\sqrt{3}}+\frac{y}{\sqrt{xz}+\sqrt{3}}+\frac{z}{\sqrt{xy}+\sqrt{3}}\leq \frac{1}{4\sqrt{3}xyz}$

 

---------------------------------------------------------------------------

P/s: Rớt rụng răng

 

Ai làm giùm bài hình với ngồi cả buổi loay hoay mãi không ra  

Cho $x,y >0$ thỏa mãn $x+y \le 3$
Tìm min $P=\frac{y+2x}{xy}+\frac{4y-3x}{4}$

Bất đẳng thức logarit:

${\color{DarkBlue} x-\frac{x^2}{2}\leq \ln (1+x)\leq x-\frac{x^2}{2}+\frac{2x^3}{3}, \forall x\geq 0}$

Từ đó chứng minh: $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}{\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}}=\frac{-1}{2}$

Cầu giải chi tiết!!!

Các bất đẳng thức trên được dựa vào khai triển Maclaurin cho hàm số $f(x)=ln(1+x) $ với $x >-1$ và chọn $n =4$ ta có 

$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{c^4}{4}$ với $0 \le c \le x $

SUy ra $ln(1+x) \le x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$ còn bất đẳng thức còn lại cũng tương tự nhưng chọn $n=2$

rõ ràng x chẵn mà bạn

$x$lẻ bạn ạ $x$ mà chẵn thì các số hạng đều phải bằng $0$ tuy nhiên điều này đâu xảy ra :") 

Cho dãy số thực phân biệt $x_1, x_2, ... x_n$ sao cho $x_1+x_2+...+x_n=0$ với $n \ge 2$. 
Chứng minh $\exists i,j (1 \le i < j \le n)$  để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j}  \right |\leq 2$ 

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để phương trình $x^n+(x+2)^n+(2-x)^n=0$ có nghiệm nguyên 

Bài 48: Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn  $f(f(n))=n^2$

Tìm số nguyên $A$ lớn nhất thỏa mãn nếu các số $1, 2, ... 100$ được viết theo thứ tự tùy ý thì luôn tồn tại 10 số liên tiếp có tổng lớn hơn hoặc bằng $A$

Mình nghĩ thế này: Vì $a,b,c \in N*, a+b+c=100$ Không mất tổng quát, giả sử $a=min{a,b,c}$  thì $a \le 33$ 

Xét $34a.33b.33c \le (\frac{34a+33b+33c}{3})^3 =(\frac{33.100+a}{3})^3 \le (\frac{33.100+33}{3})^3$ 

 

Chứng minh rằng không tồn tại đa thức bậc 2 với hệ số nguyên nhận $\sqrt[3]{3}$ làm nghiệm

Ps: Mới bắt đầu nghiên cứu mảng này nên công lực còn non kém :") Mong được chỉ bảo :"))

* Kí hiệu $S={p_1,p_2, ...., p_n}$, gọi 1 đoạn thẳng nối 2 điểm của S là 1 đoạn thẳng tốt thì sẽ có $C^2_n$ đoạn tốt $(1)$

* Theo giả thiết sẽ tồn tại đường tròn $C_i$ có tâm là $p_i$ chứa ít nhất $k$ điểm của $S$. suy ra mỗi đường tròn có ít nhất $C_k^2$ đoạn tốt. Do đó $n$ đường tròn có chứa ít nhất $nC_k^2$ đoạn tốt. Tuy nhiên khi có một cặp điểm thuộc $S$ thuôc 2 đường tròn phân biệt thì có thể số đoạn tốt đã được đếm 2 lần. Vậy số đếm tăng nhiều nhất bằng $C_n^2$ 

Vậy số đoạn tốt ít nhất là $nC_k^2-C_n^2 (2)$

*Từ $(1), (2)$ có bất đẳng thức $C_n^2 \ge nC_k^2-C_n^2$ giải BĐT này ta thu được điều cần chứng minh 

Danh sách đội tuyển Yên Bái: 

1, Nguyễn Khánh Hòa 12T
2, Trần Bùi Phương Trinh 12T
3, Nguyễn Huy Hoàng 12T

4, Hoàng Ngọc Hiếu 12T

5, Vũ Hồng Quân 11T

6, Phạm Ngọc Sơn 11T 

Toàn bộ là học sinh của trường THPT Chuyên Yên Bái 
Trong đây có mình (Sơn) với anh Hòa (banhgaongonngon) là VMFer thôi thì phải 

Lời giải :

YBTST.JPG

 

Ta có thể chứng minh được tứ giác $I_1ABI_2$ nội tiếp. Ta gọi $K$ là giao điểm thứ hai của $(BCI_2),(ACI_1)$.

Khi đó để ý ba đường thẳng $AI_1,BI_2,CK$ tương ứng là trục đẳng phương của lần lượt từng cặp $(AI_1I_2B),(ACI_1)$ ; $(AI_1I_2B),(BCI_2)$ ; $(BCI_2),(ACI_1)$. Nên $AI_1,BI_2,CK$ sẽ đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn.

Hơn nữa $AI_1,BI_2$ chình là hai phân giác của tam giác $ABC$ nên $CK$ sẽ là phân giác thứ ba của tam giác $ABC$.

Gọi $S,T$ là giao điểm của $I_2K$ với $AB,AC$. Ta có :

$$\angle AST=\angle SBI_2+\angle SI_2B=\dfrac{\angle B}{2}+\angle KCB=\dfrac{\angle B+\angle C}{2}$$

Tương tự cũng được $\angle ATS=\dfrac{\angle B+\angle C}{2}$. Như vậy $\angle AST=\angle ATS$, tức tam giác $ATS$ cân tại $A$. Mà $AI_1$ là phân giác góc $A$ của tam giác này nên nó cũng sẽ là đường cao.

Tức là $AI_1$ vuông góc $I_2K$. Tương tự $BI_2$ vuông góc $I_1K$.

Do $AI_1,BI_2,CK$ đồng quy nên trong tam giác $I_1I_2K$ thì $CK$ sẽ là đường cao thứ ba. Tức là $CK\perp I_1I_2$.

Nhưng lại có $CK\perp O_1O_2$ do $CK$ là trục đẳng phương của $(BCI_2),(ACI_1)$. Ta được $I_1I_2$ song song $O_1O_2$.

 

P.S : Chỗ chứng minh tứ giác $AI_1I_2B$ nội tiếp nói là chứng minh được nhưng mình cũng chưa tìm cách thuần túy hình học cho nó, chỉ mới chứng minh được bằng lượng giác thôi

Mình cũng chứng minh cho $AI_1I_2B$ nội tiếp ) nối $FI_2, FI_1$ ta chứng minh cho $\angle BI_2I_1$+$\angle I_1AB$ có $\angle BI_2I_1=\angle BI_2F+\angle FI_2I_1$ suy ra $\angle FI_2I_1=\angle ADF$ điều này có thể dễ cm bằng tam giác đồng dạng ) 
 

Gọi giao điểm của $AI_1, BI_2,AK$ là $N$ thì ta chứng minh $\angle I_2I_1C+\angle NCI_1=90^o$

Luôn đúng  vì $\angle I_2I_1C=\frac{\angleB+\angle A}{2}+\angle I_1CA$=$90$ ĐPCM 

ta có $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{3}{abc}$

nên ta cần chứng minh $\frac{3}{abc}\geq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq 3$

ta có $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=3abc$ $\Rightarrow abc\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}$

$\Rightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{1}{3}\frac{[2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2]^3}{27}=3$

do đó có đpcm

 

NTP

Mình thấy ý tưởng rất hay tuy nhiên cần xem xét chỗ bôi đỏ Cám ơn!

 ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN YÊN BÁI DỰ THI CẤP TỈNH

Lớp 11

Ngày 1

Câu 1: Giải hệ phương trình 
$\left\{\begin{matrix} 6x^2\sqrt{x^3-6x+5}=(x^2+2x-6)(x^3+4)(1) & \\ x+\frac{2}{x}=1+\frac{2}{y^2}     (2) & \end{matrix}\right.$
 
Câu 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{3a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{c}=6$. Chứng minh rằng
 
$\sqrt{\frac{a}{a+4bc}}+\sqrt{\frac{b}{b+9ac}}+\sqrt{\frac{c}{c+16ab}} \leq \frac{3}{2}$
 
Câu 3: Cho $a,b,c,d,m,n$ là các số nguyên dương sao cho $ab=cd$ Chứng minh rằng số $A=a^{2n+1}+b^{2m+1}+c^{2n+1}+d^{2m+1}$ là hợp số
 
Câu 4: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Điểm M nằm trong tam giác. $MA,MB,MC$ cắt $(O)$ lần lượt tại $A_1,B_1,C_1$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $A_1,B_1,C_1$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $A_2,B_2,C_2$. Chứng minh $A_2,B_2,C_2$ thẳng hàng 
 

Ngày 2

Câu 1: Cho dãy số $(u_n)^{+\infty}_{n=1}$ thỏa mãn
$i) u_n+\frac{n}{u_n}=u_{n+1}$ 
$ii) u_1=\alpha >0$ 
Tìm $\lim_{n \rightarrow +\infty$}\frac{u_n}{n}$
 
Câu 2: Cho tam giác $ABC$, đường cao $AD,BE,CF$. $I_1, I_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác$ AEF$ và $BDF$. $O_1, O_2 $là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACI_1$ và $BCI_2$. Chứng minh rằng $I_1I_2//O_1O_2$
 
Câu 3: Cho 5 điểm $A,B,C,D,E$ thuộc mặt phẳng $Oxy$. Biết mỗi điểm đều có tọa độ là các số nguyên. Chứng minh có ít nhất 3 tam giác mà diện tích là số nguyên
 
Câu 4: Cho $a,b,c$ là các số thực có tổng bằng 3. Chứng minh rằng 
 
$\sum_{a,b,c}\frac{1}{a^2} \ge$ $\sum a^2$