Đến nội dung

Messi10597

Messi10597

Đăng ký: 04-05-2013
Offline Đăng nhập: 22-01-2016 - 22:48
****-

#420218 Min $P=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}...

Gửi bởi Messi10597 trong 22-05-2013 - 14:12

Đặt $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z(x,y,z>0)$ 

$\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

Ta có: $P=\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{z^{2}}+\frac{z}{x^{2}}-(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})-2$

               $=\frac{x-1}{y^{2}}+\frac{y-1}{z^{2}}+\frac{z-1}{x^{2}}-2$

               $=\frac{x-1+y-1}{y^{2}}+\frac{y-1+z-1}{z^{2}}+\frac{z-1+x-1}{x^{2}}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})-2$

               $=(x-1)(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+(y-1)(\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})+(z-1)(\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{x^{2}})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})-2$

               $\geq \frac{2(x-1)}{xy}+\frac{2(y-1)}{yz}+\frac{2(z-1)}{zx}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})-2$

               $=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})-4$

  Ta có$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq 3(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz})=3$

        $\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \sqrt{3}$

    $\Rightarrow P\geq \sqrt{3}+1-4=\sqrt{3}-3$

    Dấu = đạt khi a=b=c=$\frac{1}{\sqrt{3}}$




#420211 Chứng minh $a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1...

Gửi bởi Messi10597 trong 22-05-2013 - 13:13

Bài 1:

Ta có: $P=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $\geq 3\sqrt[3]{abc}+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}$

Đặt $\sqrt[3]{abc}=t$ 

Ta có $\frac{3}{2}\geq a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$ $\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\leq \frac{1}{2}$

Hay $0\leq t\leq \frac{1}{2}$

Ta có P= $3t +\frac{3}{t}=3t+\frac{3}{4t}+ \frac{9}{4t}\geq 2\sqrt{3t.\frac{3}{4t}}+\frac{9}{4.\frac{1}{2}}=\frac{15}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" đạt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c\\ abc=\frac{1}{8}\\ a+b+c=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$

 




#417941 Chứng minh đẳng thức sau không phụ thuộc vào x

Gửi bởi Messi10597 trong 12-05-2013 - 01:36

Ta có $2cos(x-a)sin(x-b)sin(a-b)=$ $\left [ sin(2x-a-b)+sin(a-b) \right ]sin(a-b)$

                                                                $=sin(2x-a-b)sin(a-b)+sin^{2}(a-b)$

                                                                $=-\frac{1}{2}cos(2x-2b)+\frac{1}{2}cos(2x-2a)+sin^{2}(a-b)$

                                                                $=-\frac{1}{2}\left [ 1-2sin^{2}(x-b) \right ]+\frac{1}{2}\left [ 2cos^{2}(x-a)-1 \right ]+sin^{2}(a-b)$

                                                                $=-\frac{1}{2}+sin^{2}(x-b)-\frac{1}{2} +cos^{2}(x-a)+sin^{2}(a-b)$

                             suy ra đẳng thức bằng $\frac{1}{4}-sin^{2}(a-b)$ ko phụ thuộc x

                     bạn xem xem sai chỗ nào bảo tớ nhé




#417932 $sin5x=5sinx$

Gửi bởi Messi10597 trong 11-05-2013 - 23:52

Ta thấy sinx và sin5x ko thể đồng thời =0,nên sinx và sin5x khác 0

Ta có: sin5x=sin5x -sin3x + sin3x - sinx +sinx

                   =2cos4x.sinx +2cos2x.sinx+ sinx

                   =sinx.(2cos4x+2cos2x+1)

   $\Rightarrow \frac{sin5x}{sinx}=2cos4x+2cos2x+1$

    $\Rightarrow 2cos4x+2cos2x+1=5$

    $\Leftrightarrow 2(2cos^{2}2x-1)+2cos2x-4=0$

    $\Leftrightarrow 2cos^{2}2x+cos2x-3=0$

    $\Leftrightarrow cos2x=1$

   hoặc $cos2x=-\frac{3}{2}$       (loại do$\left | cos2x \right |=\frac{3}{2}> 1$)

   $\Leftrightarrow 2cos^{2}x-1=1\Leftrightarrow cos^{2}x=1$ ko thỏa do sinx khác o

 Vậy PT vô nghiệm

   Bạn j ơi tớ ko biết làm đúng hay sai,cậu xem giúp tớ với nhé




#417563 $\left\{\begin{matrix} x^{2}y+2x...

Gửi bởi Messi10597 trong 10-05-2013 - 09:12

Hệ phuơng trình đã cho tuơng đương với: 

                   $\left\{\begin{matrix} x^{2}y+2x+3y=6\\ 3xy+x+y+1=6 \end{matrix}\right.$

 

Do đó: $x^{2}y+2x+3y=3xy+x+y+1$     $\Leftrightarrow x^{2}y+x+2y-3xy-1=0$

 

$\Leftrightarrow y(x^{2}-3x+2)+(x-1)=0$     $\Leftrightarrow y(x-1)(x-2)+(x-1)=0$

 

$\Leftrightarrow (x-1)(xy-2y+1)=0$       $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\\ y(x-2)+1=0 \end{bmatrix}$

 

Trường hợp: $x=1$, thay vào phưong trình thứ hai của hệ, tìm được $y=1$

Truờng hợp: $y(x-2)=-1$, nhận thấy $y=0$ không phải là nghiệm của hệ, chia cả hai vế của phương trình trên cho $y\neq 0$:

                          $x-2=-\frac{1}{y}$    $\Leftrightarrow x=-\frac{1}{y}+2$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:  $7y^{2}-6y-1=0$   $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=1\\ y=-\frac{1}{7} \end{bmatrix}$

 

Với $y=1$ thì $x=1$

Với $y=-\frac{1}{7}$ thì $x=9$

 

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: $(x,y)=(1,1);\left ( 9,-\frac{1}{7} \right )$

cảm ơn bạn,ra kết quả này là tôi yên tâm rồi




#416964 $x=\sqrt{2-x}\sqrt{3-x}+\sqrt{5-...

Gửi bởi Messi10597 trong 06-05-2013 - 21:06

Tính $x=\sqrt{2-x}\sqrt{3-x}+\sqrt{5-x}\sqrt{3-x}+\sqrt{2-x}\sqrt{5-x}$

Đk:$0\leq x\leq 2$

Đặt $\sqrt{2-x}= a;\sqrt{3-x}= b;\sqrt{5-x}=c$ $\left ( a;b;c\geq 0 \right )$

$\Rightarrow x= ab+bc+ca=2-a^{2}= 3-b^{2}=5-c^{2}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+ab+bc+ca=2\\ b^{2}+ab+bc+ca=3\\ c^{2}+ab+bc+ca=5 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)(a+c)=2\\ (b+a)(b+c)=3\\ (c+a)(c+b)=5 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=\sqrt{30}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\frac{\sqrt{30}}{5}\\ b+c=\frac{\sqrt{30}}{2}\\ c+a=\frac{\sqrt{30}}{3} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a+b+c=\frac{31\sqrt{30}}{60}$

$\Rightarrow a= \frac{\sqrt{30}}{60}\Leftrightarrow x=2-\left ( \frac{\sqrt{30}}{60} \right )^{2}=\frac{239}{120}$

đáp số có thể ko đúng,bạn đọc xem giúp tớ nhé




#416947 $ (x-y)(x^2+y^2+xy+3)=3(x^2+y^2)+2 $

Gửi bởi Messi10597 trong 06-05-2013 - 20:39

PT(1)$\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}) +3(x-y)-3(x^{2}+y^{2})-2=0$

$\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+3x-1= y^{3}+3y^{2}+3y+1$

$\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{3}= \left ( y+1 \right )^{3}$

$\Leftrightarrow x-y-2=0$

Thay vào PT(2) nhân liên hợp

Đáp số (x;y)=(2;0)

     nếu có j sai xót anh chị chỉ ra để em sửa nhé




#416918 Tìm các điểm $M\in(H): 9x^2-y^2-9=0$ tọa độ $M$ là c...

Gửi bởi Messi10597 trong 06-05-2013 - 19:49

Gọi toạ độ M(a;b)

M$\epsilon$ (H) $\Rightarrow$ $9a^{2}-b^{2}=9$

                                          $\Leftrightarrow (3a-b)(3a+b)=9$

Nếu $\left\{\begin{matrix} 3a-b=1 & & \\ 3a+b=9 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{5}{3} & & \\ b=4 & & \end{matrix}\right.$ (loại)

Nếu $\left\{\begin{matrix} 3a-b=9 & & \\ 3a+b=1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{5}{3} & & \\ b=-4 & & \end{matrix}\right.$ (loại)

Nếu $\left\{\begin{matrix} 3a-b=3 & & \\ 3a+b=3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1 & & \\ b=0 & & \end{matrix}\right.$ (thoả)

Nếu $\left\{\begin{matrix} 3a-b=-1 & & \\ 3a+b=-9 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{-5}{3} & & \\ b=-4 & & \end{matrix}\right.$ (loại)

Nếu $\left\{\begin{matrix} 3a-b=-9 & & \\ 3a+b=-1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{-5}{3} & & \\ b=4 & & \end{matrix}\right.$ (loại)

Nếu $\left\{\begin{matrix} 3a-b=-3 & & \\ 3a+b=3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1 & & \\ b=0 & & \end{matrix}\right.$ (thoả)

 Vậy tìm đc 2 điểm M: (1;0);(-1;0)




#416616 Viết phương trình đường thẳng BC và đường thẳng chứa đường cao hạ từ A của ta...

Gửi bởi Messi10597 trong 05-05-2013 - 15:41

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1;2), B(3;1), C(5;4).

a, Viết phương trình đường thẳng BC và đường thẳng chứa đường cao hạ từ A của tam giác ABC

b, Tính diện tích tam giác ABC

c, Viết phương trình đường tron ngoại tiếp tam giác ABC

 

MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé

a, Ta có vecto chỉ phương của BC chính là $\vec{BC}=\left ( 5-3;4-1 \right )=\left ( 2;3 \right )$

$\Rightarrow$ vecto pháp tuyến của BC là $\left ( -3;2 \right )$

PT đương thẳng BC là$-3\left ( x-3 \right )+2\left ( y-1 \right )= 0$ hay$-3x+2y+7=0$

gọi AH là đường cao hạ từ A của $\Delta ABC$ $\Rightarrow AH\perp BC$

$\Rightarrow$ chỉ phương của BC là pháp tuyến của AH nên vecto pháp tuyến của AH là $\left ( 2;3 \right )$

PT đường thẳng AH là $2\left ( x-1 \right )+3\left ( y-2 \right )=0$ hay $2x+3y-8=0$

b,BC=$\sqrt{2^{2}+3^{2}}$=$\sqrt{13}$

   tọa độ H là nghiệm của hệ$\left\{\begin{matrix} -3x+2y+7=0 & & \\ 2x+3y-8=0 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{37}{13} & & \\ y=\frac{10}{13} & & \end{matrix}\right.$

AH= $\sqrt{\left ( \frac{37}{13}-1 \right )^{2}+\left ( \frac{10}{13}-2 \right )^{2}}=\frac{8}{\sqrt{13}}$

diện tích SABC =$\frac{1}{2}.AH.BC= \frac{1}{2}.\frac{8}{\sqrt{13}}.\sqrt{13}= 4$

c,gọi tâm I có tọa độ (x;y)

theo bài ra ta có: $IA^{2}= IB^{2}= IC^{2}$

             $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2} & & \\ \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=\left ( x-5 \right )^{2}+\left ( y-4 \right )^{2} & & \end{matrix}\right.$     

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{23}{8} & & \\ y=\frac{13}{4} & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow R=IA=\sqrt{\left ( \frac{23}{8}-1 \right )^{2}+\left ( \frac{13}{4}-2 \right )^{2}}=\frac{5}{8}\sqrt{13}$

PT đường tròn ngoại tiếp: $\left ( x-\frac{23}{8}\right )^{2}+\left ( y-\frac{13}{4} \right )^{2}= \frac{325}{64}$

bạn xem hộ tớ sai chỗ nào ko nhé




#416525 $\left\{\begin{matrix} x^{3}+3xy...

Gửi bởi Messi10597 trong 04-05-2013 - 22:51

em có cách này ạ

đặt x+y=u;x-y=v     ; $\Rightarrow$ x =$\frac{u+v}{2}$ ; y= $\frac{u-v}{2}$

PT(2)$\Leftrightarrow$ $\left ( \frac{u+v}{2} \right )^{2}$ - 8$\left ( \frac{u+v}{2} \right )\times \left ( \frac{u-v}{2} \right )$ +$\left ( \frac{u-v}{2} \right )^{2}$ = 8$\left ( \frac{u+v}{2} \right )$ - 17$\left ( \frac{u-v}{2} \right )$

Sau đó phá tung PT(2) ta sẽ được là:

5$v^{2}$ + 25v - 3u2 +9u=0

PT(1) $\Leftrightarrow$ $u^{3}\dotplus v^{3}$ = -98

ta có (1)+3$\times$(2) $\Leftrightarrow$ $\left ( v+5 \right )^{3}\dotplus \left ( u-3 \right )^{3}$ =0

$\Leftrightarrow$ $v\dotplus u\dotplus 2= 0$

Từ đó ta tìm đc là x=-1

thay vào tìm đc y=$\pm 4$

Lần đầu đăng nên có một số sai sót,mong mọi người thông cảm,em sẽ cố gắng khắc phục