Messi10597

Gọi I là trung điểm của SA,suy ra IN song song với AD và song song với BM

Mặt khác $IN=\frac{1}{2}AD=BM$ suy ra MBIN là hình bình hành,suy ra IB song song với MN 

Suy ra $MN\parallel (SAB)$

Gọi E là trung điểm AD,suy ra NE ss SA

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} NE\perp (ABCD) & & \\ NE=\frac{3a}{2}& & \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $\Delta ABM$ đều,kẻ AH vuông góc với BM $\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow S_{\Delta AMC}=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow V_{MANC}=\frac{1}{3}.NE.S_{\Delta AMC}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{2}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $9(a^{4}+b^{4}+c^{4})-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+48=0$

Tìm GTNN của $P=\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{a+2b}$

Bài bài này hình như thừa dữ kiện I là trung điểm của BD

Gọi K trung điểm BC thì G sẽ thuộc AK

Trên (BCD) gọi giao của KJ và BD là H

khi đó (AKJ) giao (ABD) = AH

Khi đó trên (AKH) thì N chính là giao của GM và AH

NHận thấy y=0 ko là nghiệm

Xét y khác 0,hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{y}+y+x+\frac{1}{y}=4 & & \\ (x+y)^{2}=2\frac{x^{2}}{y}+7+\frac{2}{y}& & \end{matrix}\right.$

Đặt: $u=\frac{x^{2}}{y}+\frac{1}{y};v=x+y$

Hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} u+v=4 & & \\ v^{2} -2u=7& & \end{matrix}\right.$

$a^{6}+a^{6}+a^{6}+a^{6}+a^{6}+b^{6}\geq 6a^{5}b$

$5b^{6}+c^{6}\geq 6b^{5}c$

$5c^{6}+a^{6}\geq 6c^{5}a$

$\Rightarrow 6(a^{6}+b^{6}+c^{6})\geq 6(a^{5}b+b^{5}c+c^{5}a)$

(đpcm)

Bài 3: 

$R=IA=\sqrt{(3+2)^{2}+(-7-0)^{2}}=\sqrt{74}$

PT đường đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

$(x+2)^{2}+y^{2}=74$

Gọi E là hình chiếu của I trên BC

Vẽ hình ra sẽ chứng minh đc $\overrightarrow{IE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AH}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{E} +2=\frac{1}{2}(3-3)& & \\ y_{E}=\frac{1}{2}(-1+7) & & \end{matrix}\right.\Rightarrow E(-2;3)$

$\overrightarrow{n_{BC}}=\overrightarrow{IE}=(0;3)\Rightarrow BC:y-3=0$

Tọa độ C  thỏa mãn hệ $\left\{\begin{matrix} y=3 & & \\ (x+2)^{2}+y^{2}=74& & \end{matrix}\right.$

Do C có hònh độ dương $\Rightarrow C(\sqrt{65}-2;3)$

PT(1):$(2x+y)^{2}-5(2x+y)(2x-y)+6(2x-y)^{2}=0$

Đặt $a=2x+y;b=2x-y$

Hệ trở thành:

$\left\{\begin{matrix} a^{2} -5ab+6b^{2}=0& & \\ a+\frac{1}{b}=0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-2b) (a-3b)=0& & \\ a+\frac{1}{b}=0 & & \end{matrix}\right.$

Thu đc 2 hệ $\left\{\begin{matrix} a=2b & & \\ ab+1=0 & & \end{matrix}\right.$

và $\left\{\begin{matrix} a=3b & & \\ ab+1=0 & & \end{matrix}\right.$

Đến đây tìm đc a;b sẽ tìm đc x;y

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $xyz=1$ ,Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{6}{x^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{y^{3}+1}}+\sqrt{\frac{6}{z^{3}+1}}\leq \sqrt{(x+y+z)^{3}}$

Mình chưa hiểu lắm

đây là công thức tích phân từng phần mà bạn

Em ko biết công thức latex lấy cận tính phân ,em tính tạm nguyên hàm

$I'=x.ln(x+\sqrt{1+x^{2}})-\int x.\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{x+\sqrt{1+x^{2}}}dx=xln(x+\sqrt{1+x^{2}})-\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx$

Đến đây đặt $t=\sqrt{1+x^{2}}$ là ok

$\bigstar$ VD 11:

 

$\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}\geq 1$

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$

 

 

$dpcm\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{1+7\frac{b}{a}+\frac{b^{2}}{a^{2}}}}\geq 1$

Đặt : $\sqrt{\frac{b}{a}}=x;\sqrt{\frac{c}{b}}=y;\sqrt{\frac{a}{c}}=z\Rightarrow xyz=1$

BĐT trở thành $\sum \frac{1}{\sqrt{x^{4}+7x^{2}+1}}\geq 1$

Ta chứng minh $\frac{1}{\sqrt{x^{4}+7x^{2}+1}}\geq \frac{1}{x^{2}+x+1}$ (1)

Thật vậy : 

      $(1)\Leftrightarrow (x^{2}+x+1)^{2}-(x^{4}+7x^{2}+1)\geq 0\Leftrightarrow 2x(x-1)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{x^{4}+7x^{2}+1}}\geq \sum \frac{1}{x^{2}+x+1}\geq 1$

Giải phương trình: $cos^{3}3xcos2x-cos^{2}x=0$

Đề ngược dấu thì phải

Đặt : $x=\frac{bc}{a^{2}};y=\frac{ca}{b^{2}};z=\frac{ab}{c^{2}}$

$dpcm\Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq 1$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$\sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{4}+b^{4}+c^{4})+abc(a+b+c)+(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})}$

Mà $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\geq abc(a+b+c)$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{4}+b^{4}+c^{4}+2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})}=1$

a.Ta có:

$y=\frac{1+sinx}{2+cosx}\Leftrightarrow sinx-ycosx=2y-1$

$\Rightarrow 1^{2}+(-y)^{2}\geq (2y-1)^{2}\Leftrightarrow 3y^{2}-4y\leq 0\Leftrightarrow 0\leq y\leq \frac{4}{3}$

$y=0\Leftrightarrow sinx=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$

$y=\frac{4}{3}\Leftrightarrow 3sinx-4cosx=5$

Cho $a,b,c\geq 0,t\geq 3$ thỏa mãn $\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}=t$ . Tìm GTNN của:

   $P=a\sqrt{b^{2}+1}+b\sqrt{c^{2}+1}+c\sqrt{a^{2}+1}$