luckylucky

Giải: cos3x + cos2x + sin2x + sinx - 5cosx = 3

$PT\Leftrightarrow 4.cos^{3}x-3.cosx+2.cos^{2}x-1+2sinx.cosx+sinx-5.cosx-3=0 \Leftrightarrow (4.cos^{3}x+2.cos^{2}x-8.cosx-4) +sinx(2sin+1)=0 \Leftrightarrow 2.(cos^{2}x-2).(2.cosx+1)=0 \Leftrightarrow (2.cosx+1)(2.(cos^{2}x-2)+sinx)=0 \Leftrightarrow (2.cosx+1)(-2.sin^{2}x+sinx-2)=0$

đến đó thì giải tiếp

Bất đẳng thức tương đương với 

                  $\frac{\sum (c^2+ab+bc+ac)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{(a+b+c)^2+18}{6(a+b+c)}$

       $\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2+ 3(ab+bc+ac)}{(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc} \geq \frac{(a+b+c)^2+18}{6(a+b+c)}$

       $\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}{(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc} -\frac{(a+b+c)^2+18}{6(a+b+c)} \geq 0$

Đặt $\left\{\begin{matrix} p=a+b+c \geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=3\\q=ab+bc+ac=3 \\r=abc \end{matrix}\right.$

BĐT trở thành $\frac{p^2+3}{3p-r} -\frac{p^2+18}{6p} \geq 0$

           $\Leftrightarrow 3p^3+p^2r-36p+18r \geq 0$

Xét $f(p)=3p^3+p^2r-36p+18r , p \in \left [ 3;+\infty \right )$

Ta có $f'(p)=9p^2+2pr-36>0$, do $p \geq 3$

        $\Rightarrow f(p)$ đồng biến

        $\Rightarrow f(p) \geq f(3)=0$ ( vì khi $p=q=3$, $\Rightarrow r=1$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

chịu thôi đoạn đầu hiểu đoạn sau dùng đạo hàm thì mình chưa học

Theo bất đẳng thức $Holder$ ta có:

$\left ( \sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}} \right )^{2}.\sum \left ( a(a^{2}+8bc) \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{3}$

$\Rightarrow VT\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{a^{3}+24abc}$

$= \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc}\geq 1$

bạn có thể không dùng bdt holder được không

BĐT này không thuần nhất nên cần phải có điều kiện chứ. bạn xem có bỏ xót điều kiện không???

không bạn ạ chắc họ sai đó

Bài toán sai khi cho a=1,b=2,c=3.

ukm đúng thật nhưng đề này mình lấy trong sách nên cũng không biết nữa