luckylucky

Cho 3 số dương a,b,c thỏa: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$

Chứng minh:

$\frac{a}{\sqrt{a}+b+c}+\frac{b}{\sqrt{b}+a+c}+\frac{c}{\sqrt{c}+b+a}\geq 1$

Giải: cos3x + cos2x + sin2x + sinx - 5cosx = 3

$PT\Leftrightarrow 4.cos^{3}x-3.cosx+2.cos^{2}x-1+2sinx.cosx+sinx-5.cosx-3=0 \Leftrightarrow (4.cos^{3}x+2.cos^{2}x-8.cosx-4) +sinx(2sin+1)=0 \Leftrightarrow 2.(cos^{2}x-2).(2.cosx+1)=0 \Leftrightarrow (2.cosx+1)(2.(cos^{2}x-2)+sinx)=0 \Leftrightarrow (2.cosx+1)(-2.sin^{2}x+sinx-2)=0$

đến đó thì giải tiếp

Bất đẳng thức tương đương với 

                  $\frac{\sum (c^2+ab+bc+ac)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{(a+b+c)^2+18}{6(a+b+c)}$

       $\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2+ 3(ab+bc+ac)}{(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc} \geq \frac{(a+b+c)^2+18}{6(a+b+c)}$

       $\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}{(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc} -\frac{(a+b+c)^2+18}{6(a+b+c)} \geq 0$

Đặt $\left\{\begin{matrix} p=a+b+c \geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=3\\q=ab+bc+ac=3 \\r=abc \end{matrix}\right.$

BĐT trở thành $\frac{p^2+3}{3p-r} -\frac{p^2+18}{6p} \geq 0$

           $\Leftrightarrow 3p^3+p^2r-36p+18r \geq 0$

Xét $f(p)=3p^3+p^2r-36p+18r , p \in \left [ 3;+\infty \right )$

Ta có $f'(p)=9p^2+2pr-36>0$, do $p \geq 3$

        $\Rightarrow f(p)$ đồng biến

        $\Rightarrow f(p) \geq f(3)=0$ ( vì khi $p=q=3$, $\Rightarrow r=1$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

chịu thôi đoạn đầu hiểu đoạn sau dùng đạo hàm thì mình chưa học