viphuongngoc

Giả sử    $a\geq b\geq c$

ta suy ra    $\frac{a^2}{b^2+c^2}\geq \frac{b^2}{c^2+a^2}\geq \frac{c^2}{a^2+b^2}$

Áp dụng BĐT Trê bư sép cho 2 dãy số trên ta có

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}\left ( \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}} \right )$

Dùng bđt Nesbitt ta cm được     $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Vậy ta có     

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Theo như lời hứa, Mình đi hỏi một anh tên Hoàng Tuấn và đây là câu trả lời

Cho a,b,c>0 ;  CMR

$a\sqrt{a^2+2bc}+b\sqrt{b^2+2ca}+c\sqrt{c^2+2ab}\geq \sqrt{3}\left ( ab+bc+ca \right )$

Ta chuẩn hoá $abc=1$ 

Ta sẽ xử lý trong căn trước

Áp dụng bất đẳng thức cauchy 3 số ta có:

$a^2+2bc=a^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq 3$

Chứng minh tương tự với các cặp còn lại rồi lấy căn ta được$VT\geq \sqrt{3}(a+b+c)$

Đến đây chứng minh 

$a+b+c\geq ab+bc+ca$ với điều kiện $abc=1$

$\rightarrow Q.E.D$

 

 

chưa chắc $a+b+c\geq ab+bc+ca$ khi $abc=1$

khi a=b=2; c=1/4 ta có : 2+2+1/4< 2.2+2.1/4+2.1/4

vì a+b+c-ab-bc-ca=(a-1)(1-b)(1-c) 

cần xét thêm trường hợp t>7/2--> -$-\sqrt{2}\leq a\leq \sqrt{2}$---> 2(a+b+c)-abc<10

Thế xem cách này thế nào . Mình nghĩ cách giải dùng P,Q,R giống bạn sieusieu là khá hay, ngoài ra đóng góp thêm cách:

Ta có $[2(a+b+c)-abc]^{2}=[a(2-bc)+(b+c).2]^{2}\leq [a^{2}+(b+c)^{2}][(2-bc)^{2}+4]=(2t+9)[(t-2)^{2}+4]$  ( với t=bc)

Chỉ cần chứng minh $(2t+9)[(t-2)^{2}+4]\leq 100$

 $\Leftrightarrow (t+2)^{2}.(2t-7)\leq 0$

Chỉ cần giả sử $a=max\left \{ a;b;c \right \}$ thì ta có ngay đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi $(a;b;c)=(2;2;-1)$ và các hoán vị của nó

 

 

chọn : a=1; b=-2; c=-2 thì liệu  $\Leftrightarrow (t+2)^{2}.(2t-7)\leq 0$

chưa chỉ ra được 2t-7 <0 được

Thế xem cách này thế nào . Mình nghĩ cách giải dùng P,Q,R giống bạn sieusieu là khá hay, ngoài ra đóng góp thêm cách:

Ta có $[2(a+b+c)-abc]^{2}=[a(2-bc)+(b+c).2]^{2}\leq [a^{2}+(b+c)^{2}][(2-bc)^{2}+4]=(2t+9)[(t-2)^{2}+4]$  ( với t=bc)

Chỉ cần chứng minh $(2t+9)[(t-2)^{2}+4]\leq 100$

 $\Leftrightarrow (t+2)^{2}.(2t-7)\leq 0$

Chỉ cần giả sử $a=max\left \{ a;b;c \right \}$ thì ta có ngay đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi $(a;b;c)=(2;2;-1)$ và các hoán vị của nó

ko dùng ngay Schur được vì dấu bằng xảy ra khi a=b=2. c=-1. còn Schur phải có a=b=c hoặc, a=b;c=0

và bạn xem lại cách lấy bunhia nhé.. nhầm rồi