viphuongngoc

 Cho a,b,c>0 ; a+b+c=3

1) Tìm Min P

P=$\frac{a^2}{\sqrt{2a^2+ab+b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{2b^2+bc+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{2c^2+ca+c^2}}$

2) Tìm max Q

Q=$\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}$

Giả sử    $a\geq b\geq c$

ta suy ra    $\frac{a^2}{b^2+c^2}\geq \frac{b^2}{c^2+a^2}\geq \frac{c^2}{a^2+b^2}$

Áp dụng BĐT Trê bư sép cho 2 dãy số trên ta có

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}\left ( \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}} \right )$

Dùng bđt Nesbitt ta cm được     $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Vậy ta có     

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$

câu 1 : Cho a,b,c>0 Tìm GTNN P

$P=\frac{a^2}{\left ( a+b \right )^2}+\frac{b^2}{\left ( b+c \right )^2}+\frac{4c^3}{3\left ( c+a \right )^3}$

Câu 2 : 

Cho $\left\{\begin{matrix} a\geq b\geq c>0\\ a+b+c=1 \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN 

P=$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\frac{24}{5\sqrt{5a+5b}}$

Câu 3: Cho 

$\left\{\begin{matrix} ab+bc+ca=1\\ a,b,c>0 \end{matrix}\right.$

Tìm GTLN của P =$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}$

Theo như lời hứa, Mình đi hỏi một anh tên Hoàng Tuấn và đây là câu trả lời

Cho a,b,c>0 ;  CMR

$a\sqrt{a^2+2bc}+b\sqrt{b^2+2ca}+c\sqrt{c^2+2ab}\geq \sqrt{3}\left ( ab+bc+ca \right )$

Ta chuẩn hoá $abc=1$ 

Ta sẽ xử lý trong căn trước

Áp dụng bất đẳng thức cauchy 3 số ta có:

$a^2+2bc=a^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq 3$

Chứng minh tương tự với các cặp còn lại rồi lấy căn ta được$VT\geq \sqrt{3}(a+b+c)$

Đến đây chứng minh 

$a+b+c\geq ab+bc+ca$ với điều kiện $abc=1$

$\rightarrow Q.E.D$

 

 

chưa chắc $a+b+c\geq ab+bc+ca$ khi $abc=1$

khi a=b=2; c=1/4 ta có : 2+2+1/4< 2.2+2.1/4+2.1/4

vì a+b+c-ab-bc-ca=(a-1)(1-b)(1-c) 

Cho a,b,c>0 ;  CMR

$a\sqrt{a^2+2bc}+b\sqrt{b^2+2ca}+c\sqrt{c^2+2ab}\geq \sqrt{3}\left ( ab+bc+ca \right )$

$a^2+b^2+c^2=9$

CMR : $2(a+b+c)-abc\leq 10$