KhuongHoangTuong

Tìm tất cả các tự đồng cấu $\varphi$ từ không gian $\mathbb{R}^n$ vào chính nó thỏa mãn: $\varphi ^2=id$

Gọi $A$ là ma trận tương ứng với tự đồng cấu đã cho, gọi $\lambda$ là một giá trị riêng ứng với vector riêng $v$

Theo giả thiết của bài toán ta có $\varphi ^{2}(v)=v$ $\Rightarrow \lambda ^{2}v=v$

Từ đó $\lambda =\pm 1$

Vậy đa thức đạc trưng tương ứng của ma trân A cũng có các giá trị riêng là $\pm 1$. 

Gọi $s_{1}$ và $s_{2}$ tương ứng là bội của các giá trị riêng $\lambda _{1}=1$ và $\lambda _{2}=-1$

Rõ ràng $s_{1}+s_{2}\leq n$.

Ta sẽ đi tìm tất cả các dạng chuẩn Jorndan có thể có của $A$

 

Theo công thức ta có, số khối Jordan cấp 1 ứng với giá trị riêng $1$ là :

   $\begin{align*} rank(A-I)^{0}-2rank((A-I)^1)+rank((A-I)^{2}) &= n-2rank(A-I)+rank(A^{2}-2A+I) \\ &=n-2rank(A-I)+rank(2A-2I) \\ &= n-rank(A-I)\\ \end{align*} \leq s_{1}$

 

tương tự số khối Jordan cấp 1 ứng với giá trị riêng $-1$ là

$\begin{align*} rank(A+I)^{0}-2rank((A+I)^1)+rank((A+I)^{2}) &= n-2rank(A+I)+rank(A^{2}+2A+I) \\ &=n-2rank(A+I)+rank(2A+2I) \\ &= n-rank(A+I)\\ \end{align*} \leq s_{2}$

 

 

Mặt khác., theo bất đảng thức Sylvester ta có

$rank(A+I+I-A)\leq rank(A-I)+rank(A+I)\leq rank(A^{2}-I)+n$

$\Leftrightarrow rank(2I)\leq rank(A-I)+rank(A+I)\leq n$

$\Leftrightarrow n\leq rank(A-I)+rank(A+I)\leq n$

$\Rightarrow rank(A-I)+ rank(A+I)=n$

 

Từ đó ta có:

$n=n-rank(A-I)+ n-rank(A+I)\leq s_{1}+s_{2}\leq n$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n-rank(A-I)=s_{1}\\ n-rank(A+I)=s_{2} \end{matrix}\right.$

 

Ma trận này thỏa mãn điển kiện chéo hóa nên: dạng chéo của am trận $A$ sẽ có dạng tổng quát là :

$\begin{pmatrix} 1 & & & & & & &\\ &. & & & & & &\\ & &. & & & & &\\ & & &1 & & & &\\ & & & & -1 & & &\\ & & & & & . & &\\ & & & & & &. &\\ & & & & & & &-1 \end{pmatrix}$ 

Với $s_{1}$ số $1$  và $s_{2}$ số $-1$ trên đường chéo chính và $o$ ở các vị trí còn lại.

Và tất cả các tự đồng cấu $\varphi$ cần tìm sẽ có ma trận biểu diễn ở dạng như trên

Gọi $X$ là không gian metric đã cho.

Vì $X$ khả ly nên nó chứa một tập con $Y$ đếm được và trù mật. Cụ thể là với $x \in X$ $\exists$ $y \in Y$ sao cho  $d(x,y)< \varepsilon$

 

Do đó ta sẽ xây dựng một $\varepsilon$-lưới của tập $X$. như sau:

  Với mỗi  $k =1,2,...$ ta lấy một $(1/k)$- lưới hữu hạn  $A_{k}$ cho $X$.

Tập $A=\cup _{i=1}^{\infty }A_{k}$ là một tập đếm được và trù mật trong $X$ vì với mỗi phần tử 

 

 $x \in X$ và một  $\varepsilon > 0$ thì trong $\varepsilon$-lân cận của $x$ sẽ có ít nhất một phần tử của $A_{k}\subset A$ với  $1/k < \varepsilon$

 Nói cách khác sẽ tồn tại $A_{k}\subset A$  sao cho $x \in A_{k}$ bằng cách chọn k sao cho  $1/k < \varepsilon$.

 

Như vậy $\left \{ A_{k} \right \}$ là một cơ sở đếm được của $X$.

 

 

ý bạn là tìm cấu trúc  của Vành thương $\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+2)$

 

Đầu tiên ta định nghĩa phép toán trên $\mathbb{Z}[x]/(x^{2}+2)$ như sau:

cho $f(x) \epsilon \mathbb{Z}[x]$ dùng thuật chia Euclide ta được

$f(x)=g(x)(x^2+2)+ax+b$

$\Rightarrow \overline{f(x)}=ax+b$

với $\overline{f(x)}=ax+b;\overline{g(x)}=cx+d$ ,ta có:

$\overline{f(x)g(x)}=(ad+bc)x+bd-2ac$

Với phép toán được định nghĩa như trên ta xây dựng một đẳng cấu vành như sau:

$\mathbb{Z}[x]/(x^2+2)\overset{\varphi }{\rightarrow} Im\varphi$

               $ax+b \rightarrow ai\sqrt{2}+b$

Dễ dàng kiểm tra $\varphi$ là một đòng cấu vành, hơn nữa rõ ràng $\varphi$ là một song ánh 

Từ đó ta suy ra $\varphi$ là một đẳng cấu vành và

$Im\varphi =\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]=\mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$

 

Vì vậy $\mathbb{Z}[x]/(x^2+2)\cong \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$

 

Ngoài ra bạng cũng có thể xây dựng một đồng cấu vành $\varphi$

$\mathbb{Z}[x]\rightarrow \mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$

         $f(x)\rightarrow f(i\sqrt{2})$

khi đó $ker(\varphi )=(x^2+2), im(\varphi )=\mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$

sử dụng định lý đẳng cấu vành ta thu được kết quả tương tự

(Nếu mình làm sai chỉ mình với nhé  )