Hung Ton

$IE\parallel BA$ mà $OM\perp AB$ $=>OM\perp EI={G}$

Ta cần tính OG

Gọi $L$ là trung điểm $OM$

Dễ thấy $IL\parallel =\frac{1}{2}OA$ nên $IL\perp AM$ và $IL=\frac{r}{2}$ nên tam giac $ILM$ vuông tại $I$

Có $LG.LM=\frac{r^{2}}{4}$ $<=>LG.r\frac{3}{2}=\frac{r^{2}}{4}$

$<=>LG=\frac{1}{6}r$

Hay $OG=r\frac{3}{2}+r\frac{1}{6}=\frac{5}{3}r$

Bài 1 bạn có thể tham khảo ở http://diendantoanho...eqslant-frac18/

Bài 2

Có 3 trường hợp là góc $A$ nhọn, tù hoặc vuông

+Với góc $A$ nhọn thì có 

$\angle ABC+\angle C=2\alpha>180^{o}$

Có $\sin 2\alpha=\sin (180-2\alpha)=\sin BAC$

$=\frac{BE}{AB}$

Do đó $\frac{h^{2}}{2\sin 2\alpha}=\frac{BE^{2}}{2\frac{BE}{AB}}$

$=\frac{BE.AB}{2}=\frac{AC.BE}{2}=S_{ABC}$ 

+Với $A$ tù thì $2\alpha<180^{o}$

$\sin 2\alpha=\frac{BE}{AB}$

Và làm tương tự

+VớI $A$ vuông thì $\sin 2\alpha=\sin 90=1$

Nên $\frac{h^{2}}{2\sin 2\alpha}=\frac{h^{2}}{2}=S_{ABC}$

Vậy ta có dpcm

Mình nghĩ đề bài thiếu, gt phải thêm là $\angle A=120$

Đường thẳng song song vs $AB$ cắt $AC$ tại $E$

$AD$ là phân giác nên $\angle BAD=\angle DAE=60$

Suy ra $\angle ADE=60$(=$\angle BAD$ so le trong)

Dễ thấy $\Delta DAE$ đều nên $AD=AE=DE$

Nên $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{AB}=\frac{EC}{AC}$ ($Thales$)

$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AC}$

Do đó  $\frac{AD}{AC}+\frac{AD}{AB}=\frac{EC}{AC}+\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AC}=1$

hay $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}$ {dpcm)

bài này còn có chiều ngược lại, tóm lại ta có

$\angle BAC=120$<=>$\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}$

Ta hạ $DI\perp AB$. Phân giác $\angle BOA$ cắt $DI$ tại $J$

Dễ thấy $DI\parallel OH$ nên  $\angle HOB=\angle BDI$ (so le trong)

Mà $\angle HOB=\angle BOJ$ nên $\angle BOJ=\angle BDI$

Do đó tam giác $ODJ$ cân tại $J$ $=>$ $OJ=DJ$

$OA=BD$ (gt) 

$\angle JOA=\angle BDI$ ($=\angle BOJ$)

nên $\Delta BJD=\Delta AJO$ (c,g,c)

Nên $BJ=JA$=> $\Delta BJA$ cân tại $J$. Mà $IJ\perp BA$

Suy ra $I$ là trung điểm AB. Suy ra  $\Delta ABD$ cân tại $D$

nên $BD=DA$. Mà $BD=OA$ (gt) nên $AD=OA$ do đó $\Delta OAD$ cân (ĐPCM) 

DPCM <=> tia AD nằm giữa tia AH và AM<=>$\angle BAH<\angle BAD<\angle BAM$ 

Từ C kẻ dg thg song song với AB; giao AM tại N

Dễ dàng có $\angle N=\angle BAM$ và $CN=AB$

có AB<AC (gt) nên AC>CN nên $\angle N>\angle NAC$

Do đó $\angle MAC<\angle BAM$

nên $\angle BAM>\frac{\angle BAC}{2}=\angle BAD$ (@)

trong tam giác vuông $BAH$ có

$\angle BAH=1v-\angle B=\frac{\angle BAC+\angle B+\angle ACB}{2}-\angle B$

$=\frac{\angle BAC}{2}+\frac{\angle ACB-\angle B}{2}<\frac{\angle BAC}{2}=\angle BAD$ (@@)

 (vì gócACB<góc B)

Từ @ và @@ suy ra $\angle BAH<\angle BAD<\angle BAM$ 

Do đó có dpcm