Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc Gia tỉnh Bắc Giang
Năm học 2013-2014
Thời gian : 180 phút
Câu 2(4 điểm)
Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.CMR
$a\sqrt{\frac{b+c}{a^{2}+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^{2}+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^{2}+ab}}\leq \frac{3}{abc}$
Ta có: $a\sqrt{\frac{b+c}{a^{2}+bc}}=\sqrt{a}.\sqrt{\frac{ab+ac}{a^{2}+bc}}$
Áp dụng bất đẳng thức cauchy được: $a^{2}+bc+ab^{2}c^{2}\geqslant 3abc$
$\Rightarrow a^{2}+bc\geqslant abc(ab+ac)\Rightarrow \sqrt{a}.\sqrt{\frac{ab+ac}{a^{2}+bc}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{bc}}$
Từ đó dễ dàng suy ra ĐPCM.