Đến nội dung

talata1992

talata1992

Đăng ký: 13-05-2013
Offline Đăng nhập: 28-08-2014 - 16:42
-----

Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc Gia tỉnh Bắc Giang

23-09-2013 - 18:56

                                             Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc Gia tỉnh Bắc Giang

                                                              Năm học 2013-2014

                                                        Thời gian : 180 phút

     

Câu 2(4 điểm)

          Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.CMR

                    $a\sqrt{\frac{b+c}{a^{2}+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^{2}+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^{2}+ab}}\leq \frac{3}{abc}$

Ta có: $a\sqrt{\frac{b+c}{a^{2}+bc}}=\sqrt{a}.\sqrt{\frac{ab+ac}{a^{2}+bc}}$

Áp dụng bất đẳng thức cauchy được: $a^{2}+bc+ab^{2}c^{2}\geqslant 3abc$

$\Rightarrow a^{2}+bc\geqslant abc(ab+ac)\Rightarrow \sqrt{a}.\sqrt{\frac{ab+ac}{a^{2}+bc}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{bc}}$

Từ đó dễ dàng suy ra ĐPCM.