PT42

Vì vai trò của x, y, z, t bình đẳng nên có thể giả sử $x \leq y\leq z \leq t$ $\Rightarrow \frac{1}{t} \leq \frac{1}{z} \leq \frac{1}{y} \leq \frac{1}{x}$

Vì $x, y, z, t \geq 1$ nên $n = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} \leq 4$ $\Rightarrow$ n = 1, 2, 3 hoặc 4.

 

- Trường hợp 1: n = 4

Nếu  x, y, z, t không cùng bằng 1 thì $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} + \frac{1}{t} < 4$ nên x = y = z = t = 1

 

Trường hợp 2: n = 3

Nếu x > 1 thì $2\leq x \leq y \leq z \leq t \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 < 3$

$\Rightarrow x = 1 \Rightarrow \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = 2 \leq \frac{3}{y} \Rightarrow 2y \leq 3 \Rightarrow y = 1$

$\Rightarrow \frac{1}{z} < 1 = \frac{1}{z} + \frac{1}{t} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow 1 < z \leq 2 \Rightarrow z = 2 \Rightarrow t = 2$

 

Trường hợp 3: n = 2

$\Rightarrow 2 = n \leq \frac{4}{x} \Rightarrow x \leq 2 \Rightarrow$ x = 1 hoặc x = 2

* Nếu x = 1 thì $\frac{1}{y} < \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = 1 \leq \frac{3}{y} \Rightarrow 1 < y \leq 3 \Rightarrow$ y = 2 hoặc 3

- Nếu y = 2 thì $\frac{1}{z} < \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{1}{2} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow 2 < z \leq 4 \Rightarrow$ z = 3 hoặc 4.

z = 3 thì t = 6

z = 4 thì t = 4. 

- Nếu y = 3 thì $\frac{1}{z} < \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{2}{3} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow \frac{3}{2} < z \leq 3 \Rightarrow$ z = 2 hoặc 3.

z = 2 thì $\frac{1}{t} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \Rightarrow t = 6$

z = 3 thì t = 3

 

* Nếu x = 2 thì dễ dàng suy ra y = z = t = 2.

 

 

Trường hợp 4: n = 1

Có $\frac{1}{x} <1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} \leq \frac{4}{x} \Rightarrow 1 < x \leq 4 \Rightarrow$ x = 2, 3 hoặc 4.

* Nếu x = 4 thì $\frac{3}{4} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} \leq \frac{3}{4}$ nên y = z = t = 4

 

* Nếu x = 3 thì $\frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{2}{3} \leq \frac{3}{y} \Rightarrow 3 = x \leq y \leq \frac{9}{2} \Rightarrow$ y = 3 hoặc 4.

- Nếu y = 3 thì $\frac{1}{z} < \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{1}{3} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow 3 < z \leq 6 \Rightarrow$ z = 4, 5 hoặc 6

z = 4 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \Rightarrow t = 12$

z = 5 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15} \Rightarrow t = \frac{15}{2}$ (loại)

z = 6 thì t = 6

- Nếu y = 4 thì $\frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow y = 4 \leq z \leq \frac{24}{5} \Rightarrow$ z = 4 

$\Rightarrow \frac{1}{t} = \frac{5}{12} - \frac{1}{4} = \frac{1}{6} \Rightarrow t = 6$

 

* Nếu x = 2 thì $\frac{1}{y} < \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{1}{2} \leq \frac{3}{y} \Rightarrow 2 < y \leq 6 \Rightarrow$ y = 3, 4, 5 hoặc 6.

- Nếu y = 3 thì $\frac{1}{z} < \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{1}{6} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow 6 < z \leq 12$ $\Rightarrow$ z = 7, 8, 9, 10, 11 hoặc 12

z = 7 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{42} \Rightarrow t = 42$

z = 8 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{1}{24} \Rightarrow t = 24$

z = 9 thì$\frac{1}{t} = \frac{1}{6} - \frac{1}{9} = \frac{1}{18} \Rightarrow t = 18$

z = 10 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{1}{15} \Rightarrow t = 15$

z = 11 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{6} - \frac{1}{11} = \frac{5}{66}$ (loại)

z = 12 thì t = 12

 

- Nếu y = 4 thì $\frac{1}{z} < \frac{1}{z} +\frac{1}{t} = \frac{1}{4} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow 4 < z \leq 8$ $\Rightarrow$ z = 5, 6, 7 hoặc 8.

z = 5 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20} \Rightarrow t = 20$

z = 6 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \Rightarrow t = 12$

z = 7 thì $\frac{1}{t} = \frac{1}{4} - \frac{1}{7} = \frac{3}{28}$ (loại)

z = 8 thì t = 8

 

- Nếu y = 5 thì $\frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow y = 5 \leq z \leq \frac{20}{3} \Rightarrow$ z = 5 hoặc 6

z = 5 thì $\frac{1}{t} = \frac{3}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1}{10} \Rightarrow t = 10$

z = 6 thì $\frac{1}{t} = \frac{3}{10} - \frac{1}{6} = \frac{4}{30}$ (loại)

 

- Nếu y = 6 thì $\frac{1}{z} + \frac{1}{t} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \leq \frac{2}{z} \Rightarrow y = 6 \leq z \leq 6 \Rightarrow z = t = 6$

 

Vậy có các kết quả như trên và các hoán vị của x, y, z, t.

(Toán khó lớp 5)

Vì x, y, z > 0 mà $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ nên $\frac{1}{x} < 1 \Rightarrow x > 1$

Vì 0 < x < y < z nên $\frac{1}{z} < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$ $\Rightarrow$ $1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < \frac{3}{x}$

$\Rightarrow x < 3$. Mà x nguyên dương, x > 1 nên x = 2.

$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < \frac{2}{y}$ $\Rightarrow y < 4$

Mà y > x = 2, y nguyên dương nên y = 3. Từ đó z = 6.

Tôi nhầm, mong các mod xóa giúp. 

Cách 2 :

Dễ thấy số phải tìm chia hết cho 2, 3, 5 nên có dạng $A = 2^{a}. 3^{b}. 5^{c}. k^{30}$ với a, b, c nguyên dương (vì 30 là bội chung nhỏ nhất của 2, 3, 5). Vì A nhỏ nhất nên k = 1 và a, b, c $\leq$ 30

Từ giả thiết suy ra $\left\{\begin{matrix} a - 1 \vdots 2\\a\vdots 3 \\ a\vdots 5 \end{matrix}\right.$ 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a = 2x + 1\\a = 15y \end{matrix}\right. (x, y \epsilon \mathbb{N}) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 15a = 30x + 15\\ 14a = 7. 30y \end{matrix}\right.\Rightarrow a = 30(x - 7y) + 15 \Rightarrow a = 15$

 

Cũng từ giả thiết có $\left\{\begin{matrix} b\vdots 2\\b - 1\vdots 3 \\ b\vdots 5 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} b = 10z\\b = 3t + 1 \end{matrix}\right. (z, t \epsilon \mathbb{N}) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 9b = 3. 30z\\10b = 30t + 10 \end{matrix}\right. \Rightarrow b = 30. (t - 3z) + 10 \Rightarrow b = 10$

 

Ta cũng có $\left\{\begin{matrix} c\vdots 2\\c\vdots 3 \\ c - 1\vdots 5 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c = 6m\\c = 5n + 1 \end{matrix}\right. (m, n \epsilon \mathbb{N})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5c = 30m\\ 6c = 30n + 6 \end{matrix}\right.\Rightarrow c = 30. (n - m) + 6 \Rightarrow c = 6$

 Vậy $A = 2^{15}. 3^{10}. 5^{6}$

Gọi A là số phải tìm ($A \neq 0$) thì $A = 2a^{2} = 3b^3 = 5c^{5}$ với a, b, c nguyên dương.

Vì $2a^{2} = 3b^{3}$ nên $\left\{\begin{matrix} a \vdots 3\\b\vdots 2 \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a = 3a_{1}\\ b = 2b_{1} \end{matrix}\right. (a_{1}, b_{1} \varepsilon \mathbb{N})$ $\Rightarrow 2. 9a_{1}^{2} = 3. 8b_{1}^{3} \Rightarrow 3a_{1}^{2} = 4b_{1}^{3} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}\vdots 2\\b_{1}\vdots 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1} = 2a_{2}\\ b_{1} = 3b_{2} \end{matrix}\right.(a_{2}, b_{2} \epsilon \mathbb{N})$

$\Rightarrow 3. 4a_{2}^{2} = 4. 27b_{2}^{3} \Rightarrow a_{2}^{2} = 9b_{2}^{3} \Rightarrow a_{2}^{2}\vdots (3b_{2})^{2} \Rightarrow a_{2} \vdots (3b_{2})$

 

Đặt $a_{2} = k. 3b_{2} (k \varepsilon \mathbb{N} ) \Rightarrow a_{2}^{2} = k^{2}. 9b_{2}^{2} = 9b_{2}^{3} \Rightarrow b_{2} = k^{2} $

 

$\Rightarrow a_{2} = 3b_{2}. k = 3k^{3} \Rightarrow a = 3a_{1} = 6a_{2} = 18k^{3}$

$\Rightarrow A = 2a^{2} = 648k^{6}$

 

Ta có $A = 648k^{6} = 2^{3}. 3^{4}. k^{6} = 5c^{5} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} k \vdots 5\\c\vdots 2 \\ c\vdots 3 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} k = 5k_{1}\\ c = 6c_{1} \end{matrix}\right. (k_{1}, c_{1} \epsilon \mathbb{N})$

 

$\Rightarrow 2^{3}. 3^{4}. 5^{6}. k_{1}^{6} = 5. 2^{5}. 3^{5}. c_{1}^{5} \Rightarrow 5^{5}. k_{1}^{6} = 2^{2}. 3. c_{1}^{5}$

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k_{1}\vdots 2\\ k_{1}\vdots 3 \\c_{1} \vdots 5 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k_{1} = 6k_{2}\\ c_{1} = 5c_{2} \end{matrix}\right.(k_{2}, c_{2} \epsilon \mathbb{N})\Rightarrow 5^{5}. 2^{6}. 3^{6}k_{2}^{6} = 2^{2} . 3. 5^{5}. c_{2}^{5} $

 

$\Rightarrow 2^{4}. 3^{5}. k_{2}^{6} = c_{2}^{5}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c_{2}\vdots 2\\c_{2}\vdots 3 \end{matrix}\right. \Rightarrow c_{2} = 6c_{3} (c_{3} \epsilon \mathbb{N}) \Rightarrow 2^{4}. 3^{5}.k_{2}^{6} = 2^{5}. 3^{5} c_{3}^{5} \Rightarrow k_{2}^{6} = 2. c_{3}^{5}$

$\Rightarrow k_{2}\vdots 2 \Rightarrow k_{2} = 2k_{3} (k_{3} \epsilon \mathbb{N}) $

 

$\Rightarrow 2^{6}k_{3}^{6} = 2c_{3}^{5} \Rightarrow c_{3}^{5} = 2^{5}. k_{3}^{6} = (2k_{3})^{5}. k_{3} \Rightarrow c_{3}^{5} \vdots (2k_{3})^{5} \Rightarrow c_{3} \vdots (2k_{3}) $

$\Rightarrow c_{3} = 2k_{3}. t (t \epsilon \mathbb{N}) \Rightarrow (2k_{3})^{5}. t^{5} = (2k_{3})^{5}. k_{3} \Rightarrow k_{3} = t^{5}$

 

$\Rightarrow k = 5k_{1} = 5.6k_{2} = 60k_{3} = 60t^{5}$ = $2^{2}. 3 . 5t^{5}$

 

$\Rightarrow A = 648 k^{6} = 2^{3}. 3^{4}. 2^{12}. 3^{6}. 5^{6}. t^{30} = 2^{15}. 3^{10}. 5^{6}. t^{30}$

 

$\Rightarrow$ Số A nhỏ nhất thỏa mãn là $2^{15}. 3^{10}. 5^{6}$ (t = 1)