shinichigl

Đặt $\sqrt{y+1}=b$; $\sqrt{-4x^{2}+18x-20}=a$

Từ đó ta có: $b> 0$; $a\geq 0$; $2\leq x\leq 2.5$

Từ phương trình đầu tiên ta có:

$1+a=b-\frac{4}{a^{2}+4}$

$\Leftrightarrow b=\frac{a^{3}+a^{2}+4a+8}{a^{2}+4}$

$\Rightarrow b\geq \frac{8}{4}=2$ hay $b^{2}\geq 4$

(Do hàm số $f(a)=\frac{a^{3}+a^{2}+4a+8}{a^{2}+4}$ là hàm đồng biến trên tập xác định (tính đạo hàm ra sẽ thấy))

Từ phương trình thứ hai ta có:

$x^{b^{2}}=\left ( b^{2} \right )^{x}$

$\Leftrightarrow ln\left ( x^{b^{2}} \right )=ln\left ( \left ( b^{2} \right )^{x} \right )$

$\Leftrightarrow b^{2}ln(x)=xln(b^{2})$

$\Leftrightarrow \frac{ln(x)}{x}=\frac{ln\left ( b^{2} \right )}{b^{2}}$

Xét $f(t)=\frac{ln(t)}{t}$ $(t> 0)$

$f'(t)=\frac{1-ln(t)}{t^{2}}$

Từ đó ta có:

Với $0<t<e$ thì $f(t)$ đồng biến

Với $t>e$ thì $f(t)$ nghịch biến

Suy ra: 

$\frac{ln(x)}{x}\geq \frac{ln(2)}{2}$ và $\frac{ln(b^{2})}{b^{2}}\leq  \frac{ln(4)}{4}=\frac{ln(2)}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi: $b=2$; $x=2$ hay $y=3$; $x=2$ (*)

Thay (*) vào phương trình thứ nhất ta thấy thõa mãn

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là $\left (x;y \right )=\left ( 2;3 \right )$

nham nghiem kieu gi vay ban

Mình dùng máy CASIO để solve nghiệm của nó. Lúc mà thay nghiệm vào thì thấy $\sqrt{1-5x}=\sqrt{x-x^{2}}$. Từ đó tìm ra

Điều kiện: $0\leq 0\leq \frac{1}{5}$ (1)

$2\left ( \sqrt{1-5x}-\sqrt{x} -\sqrt{x-x^{2}}\right )=x-1$

$\Leftrightarrow 2\left ( \sqrt{1-5x} -\sqrt{x-x^{2}}\right )=2\sqrt{x}-\left ( 1-x \right )$

$\Leftrightarrow 2\frac{x^{2}-6x+1}{\sqrt{1-5x}+\sqrt{x-x^{2}}}=(-1)\frac{x^{2}-6x+1}{2\sqrt{x}+\left ( 1-x \right )}$

$\Leftrightarrow x^{2}-6x+1=0$

(Vì phương trình $\frac{2}{\sqrt{1-5x}+\sqrt{x-x^{2}}}=\frac{-1}{2\sqrt{x}+\left ( 1-x \right )}$ vô nghiệm (VT>0 và VP<0))

$\Leftrightarrow x=3-2\sqrt{2}$ (do (1))

Đặt $\sqrt{x^{2}-3x+3}=b$ (1) ($b\geq 0$)

Ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x^{3}+6=\left ( x+b \right )^{3}\\ x^{2}-3x+3=b^{2} \end{matrix}\right.$

Trong 3 số (a-1), (b-1), (c-1) luôn luôn có 2 số cùng không âm hoặc không dương. Giả sử (a-1) và (b-1) cùng không âm hoặc cùng không dương
Khi đó ta có: (a-1)(b-1)$\geq 0$ (*)

Từ đề bài: $a=\frac{1}{bc}$. Ta cần chứng minh $\frac{1}{b^{2}c}+\frac{b}{c}+bc^{2}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{1}{bc}+b+c-1 \right )$

Ta lại có:

$\frac{1}{b^{2}c}+\frac{b}{c}+bc^{2}=\left ( \frac{1}{2b^{2}c}+\frac{b}{c} \right )+\left ( \frac{1}{2b^{2}c}+bc^{2} \right )$

$\geq\frac{3}{2} \left ( \sqrt[3]{\frac{1}{b^{2}c}.\left ( \frac{b}{c} \right )^{2}}+\sqrt[3]{\frac{1}{b^{2}c}.\left ( bc^{2} \right )^{2}} \right )$

$=\frac{3}{2}\left ( \frac{1}{c}+c \right )$