ttlinhtinh

https://en.wikipedia...Rotation_matrix

cho $x,y,z$ là số đo của 3 góc thỏa mãn:

$x+y+z=90^{\circ}$

chứng minh rằng

$cot(x)+cot(y)+cot(z)=cot(x).cot(y).cot(z)$

$x+y+z=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow x+y=\frac{\pi}{2}-z \Leftrightarrow cot(x+y)=cot(\frac{\pi}{2}-z)=tan(z) \\ \Leftrightarrow \frac{cot(x)cot(y)-1}{cot(x)+cot(y)}=\frac{1}{cot(z)} \Leftrightarrow cot(x)cot(y)cot(z)-cot(z)=cot(x)+cot(y)$

A, B là các ma trận vuông cấp n : $A^{2008} = 0$ và A-2B =0. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. det(B) = 1

B. det(B) = 0

C. det(B) = 2

D. det(B) # 0

Do $A^{2008} = 0$ nên $\det(A^{2008}) = (\det(A))^{2008}= 0 \Rightarrow \det(A) = 0$;

$A-2B=0\Rightarrow A=2B\Rightarrow \det(A)=2^{n}\det(B)\Rightarrow \det(B)=0$

 

Cho dãy số $x_n$:

$x_1$= $\sqrt{2}$ ; $ x_{n+1}$= $\sqrt{2+x_n}$

Chứng minh dãy hội tụ và tìm giới hạn của dãy số.

 

*) $x_{n} > 0$ với mọi $n$

*) $x_{n+1}-x_{n}=\sqrt{2+x_{n}}-\sqrt{2+x_{n-1}}=\frac{x_{n}-x_{n-1}}{\sqrt{2+x_{n}}+\sqrt{2+x_{n-1}}}$

Bằng quy nạp, dễ dàng chưngs minh $x_{n}$ là dãy tăng (1)

*) $x_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+...\sqrt{2+\sqrt{2}}}}<\sqrt{2+\sqrt{2+...\sqrt{2+\sqrt{4}}}}=2$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $x_{n}$ hội tụ.

*) Giả sử $\lim x_{n}=A$. Khi đó ta có: 

$A=\sqrt{2+A}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A>0\\ A^2-A-2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (A+1)(A-2)=0\Leftrightarrow A=2$

Bài toán tổng quát: 

Cho dãy số: $x_{n}$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} x_{1}=\sqrt{a}\\ x_{n}=\sqrt{a+x_{n-1}} \end{matrix}\right.$

Chứng minh dãy đã cho tồn tại giới hạn và tính giới hạn đó?

Chưng minh rằng: $1^{2}C_{2008}^{1}-2^{2}C_{2008}^{2}+3^{2}C_{2008}^{3}-...-2008^{2}C_{2008}^{2008}= 0$

Khai triển nhị thức Newton của $(1-x)^{2n}$ thu được:

$(1-x)^{2n}=C_{2n}^{0}-xC_{2n}^{1}+x^2C_{2n}^{2}-...+x^{2n}C_{2n}^{2n}$ (*)

Đạo hàm hai vế (*) theo $x$ thu được:

$2n(1-x)^{2n-1}=C_{2n}^{1}-2xC_{2n}^{2}+...-2nx^{2n-1}C_{2n}^{2n}$ (**)

Nhân hai vế (**) với $x$ thu được:

$2nx(1-x)^{2n-1}=xC_{2n}^{1}-2x^2C_{2n}^{2}+...-2nx^{2n}C_{2n}^{2n}$ (***)

Đạo hàm hai vế (***) theo $x$ thu được:

$2n(1-x)^{2n-1}-2n(2n-1)(1-x)^{2n-2}=C_{2n}^{1}-2^2xC_{2n}^{2}+...-(2n)^2x^{2n-1}C_{2n}^{2n}$

Thay $x = 1$ và $n = 1004$ ta có đpcm.

Mình đang học toán cao cấp ở ĐH, và muốn luyện tiếng Anh luôn nên đang tìm các trang web tiếng Anh có nhiều bài tập. 

Các trang như khanacademy chỉ toàn bài giảng thôi không thấy bài tập đâu cả. Trang Mathworks.com, Wolfram.com toàn là wiki về toán thôi. Nếu web đó vừa nhiều bài tập, lại thảo luận dc vs nhau như bên hoctainha thì tốt. Mn giúp mình với

Có trang này: http://www.artofprob...g.com/community

 

Em có bài toán sau , mọi người giúp em nhé

 

cho a^2 + b^2 = 1/2

Chứng minh rằng :

1/(1-2ab) + 1/a + 1/b >= 6 , thanks moi nguoi

 

Sử dụng các BĐT: $a^2+b^2\geq 2ab;\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b};2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2$, ta có:

$\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{1}{1-(a^2+b^2)}+\frac{4}{a+b}\geq \frac{1}{1-(a^2+b^2)}+\frac{4}{\sqrt{2(a^2+b^2)}}=6$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

Với $0<x< \frac{\pi}{2}.$ Chứng minh rằng : $\sin x > \frac{2}{\pi}.x$

Xét hàm số $f(x)=\sin x-\frac{2x}{\pi}$ với $0<x<\frac{\pi}{2}$

Ta có: $f'(x)=\cos x -\frac{2}{\pi}$. Gọi $x_0\in (0,\frac{\pi}{2})$ thỏa mãn $f'(x_0) = 0$.

Do $\cos x_{0} = \frac{2}{\pi}$ suy ra $\sin x_{0} = \sqrt{\frac{\pi^2 - 4}{\pi^2}}$

Khi đó:

Với $x\in (0,x_{0})$, $f'(x)>0$, suy ra hàm $f(x)$ đồng biến. Do đó: $f(x)>f(0)=0\Rightarrow \sin x > \frac{2x}{\pi}$

Với $x\in (x_{0},\frac{\pi}{2})$, $f'(x)<0$, suy ra hàm $f(x)$ nghịch biến. Do đó: $f(x)>f(\frac{\pi}{2})=0\Rightarrow \sin x>\frac{2x}{\pi}$

Tại $x = x_{0}$, ta có $\sin x_{0} - \frac{2x_{0}}{\pi} > 0$.

Tóm lại, với $0<x<\frac{\pi}{2}$ ta có: $\sin x>\frac{2x}{\pi}$

Mình lại làm như thế này $A = (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy}) + \frac{1}{2xy} + (\frac{1}{xy} + 4xy) \geq \frac{4}{(x + y)^{2}} + \frac{1}{2\frac{(x + y)^{2}}{4}} + 2\sqrt{4xy . \frac{1}{xy}} = 4 + \frac{1}{\frac{1}{2}} + 4 = 10.$. Cho mình bết mình sai chỗ nào để rút kinh nghiệm 

Quan trọng là nhóm như thế nào để dấu $=$ xảy ra.

Nếu nhóm như bạn thì dấu $=$ xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix} x=y\\ 4x^2y^2=1\\ x+y=1 \end{matrix}\right.$ Hệ này vô nghiệm.

mình xài vinacal mà vẫn sai

Hôm qua mình cũng đã thử Vinacal và kết quả bằng $4$. Tuy nhiên, sáng nay thử máy tính fx-500ES thật thì kết quả bằng $900$.

Trên diễn đàn cũng đã từng có chủ đề nói về một số lỗi của Vinacal, tham khảo tại đây. 

chứng minh giúp mình bđt này với |sinx| < |x| với mọi x thuộc R

Đúng ra là $|\sin x|\leq |x|$.

*) Với $x = 0$ ta có $|\sin x|= |x|$

*) Với $x\in (-\infty,-\frac{\pi}{2}]\cup [\frac{\pi}{2},\infty)$ thì $x^2>1\geq\sin^2 x\Rightarrow |\sin x|<|x|$

*) Với $x\in (-\frac{\pi}{2},0)\cup (0,\frac{\pi}{2})$. Xét hàm số: $f(x)=x^2-\sin^2 x$

Ta có: $f'(x)=2x-\sin 2x$; $f''(x)=2-2\cos 2x = 2(1-\cos 2x)>0$

Do đó $f'(x)$ luôn đồng biến với $x\in (-\frac{\pi}{2},0)\cup (0,\frac{\pi}{2})$

TH1: Với $x\in (-\frac{\pi}{2},0)$ kết hợp $f'(x)$ đồng biến suy ra $f'(x)<f'(0) = 0$.

Do đó, $f(x)$ nghịch biến với $x\in (-\frac{\pi}{2},0)$. Suy ra $f(x) > f(0) = 0$ với $x\in (-\frac{\pi}{2},0)$. Suy ra $x^2 > \sin^2 x \Rightarrow |\sin x|<|x|$

TH2: Với $x\in (0,\frac{\pi}{2})$ kết hợp  $f'(x)$ đồng biến suy ra $f'(x)>f'(0) = 0$

Do đó, $f(x)$ đồng biến với $x\in (0,\frac{\pi}{2})$. Suy ra $f(x) > f(0) = 0$ với $x\in (0,\frac{\pi}{2})$. Suy ra $x^2 > \sin^2 x \Rightarrow |\sin x|<|x|$

Kết luận: $|\sin x|\leq |x|$ với $x\in \mathbb{R}$

nếu bỏ dấu nhân sau số 2 thì sao bạn

Nếu bỏ dấu nhân sau số $2$ thì xuất hiện phép nhân tắt $2(32-17)$.

Một số dòng máy tính casio (mình đã thử với máy fx-500MS) ưu tiên phép nhân tắt trước phép nhân, chia bình thường.

Do đó kết quả thu được là $120\div 2(32-17)=120\div 30=4$.

Tuy nhiên, phép tính đúng phải là $120\div 2\times (32-17)=60\times 15=900$.

Các dòng máy casio đời cao hơn không ưu tiên phép nhân tắt như các máy đời thấp nữa. Mình đã thử với máy tính fx-500ES và kết quả bằng $900$

giải phương trình lượng giac sau:

$4cos3x.cos2x+2cos3x+1=0$

Phương trình đã cho tương đương với:

$2(\cos 5x + \cos x)+2\cos 3x+1 = 0\Leftrightarrow 2\cos 5x + 2\cos 3x +2\cos x + 1=0$ (*)

Nhận thấy $x = k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$ không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Nhân hai vế (*) với $\sin x$ thu được:

$(*)\Leftrightarrow 2\cos 5x \sin x+2\cos 3x \sin x+2\cos x \sin x+\sin x=0 \\ \Leftrightarrow (\sin 6x - \sin 4x)+(\sin 4x -\sin 2x)+\sin 2x+\sin x =0 \\ \Leftrightarrow \sin 6x + \sin x = 0\Leftrightarrow 2\sin(\frac{7x}{2})\cos(\frac{5x}{2})=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \frac{k2\pi}{7}\\ x = \frac{\pi+k2\pi}{5} \end{matrix}\right.$

Giải giùm mình cái tiểu đề

$\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\sqrt{{{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x-2}}$ 

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{\tan^2 x+\cot^2 x-2}dx=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{\tan^2 x-2\tan x\cot x+\cot^2 x}dx =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{(\tan x-\cot x)^2}dx \\ =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}|\tan x-\cot x|dx=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}(\cot x -\tan x)dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}(\tan x -\cot x)dx$

Giải phương trình $sin^{2013}x+cos^{2014}x-cosx=\frac{x^2}{2}$

Nhận thấy phương trình đã cho có nghiệm $x = 0$

Xét hàm số: $f(x)=\sin^{2013}x+\cos^{2014}x-\cos x-\frac{x^2}{2}$

Ta có: $f(x)\leq \sin^2x+\cos^2x-\cos x-\frac{x^2}{2}=1-\cos x-\frac{x^2}{2}$

Xét: $g(x)=1-\cos x-\frac{x^2}{2}$

Trường hợp $x \in (0, \infty)$

Ta có: $g'(x)=\sin x-x< 0$ (Thật vậy: Xét $h(x)=\sin x-x\Rightarrow h'(x)=\cos x-1<0 \Rightarrow h(x) < h(0) = 0$)

Do đó, $g(x)$ nghịch biến với $x \in (0, \infty)$. Suy ra: $g(x) < g(0) = 0$. Suy ra $f(x) < g(x) < 0$

Trường hợp $x \in (-\infty, 0)$

Ta có: $g'(x)=\sin x-x> 0$ (Thật vậy: Xét $h(x)=\sin x-x\Rightarrow h'(x)=\cos x-1<0 \Rightarrow h(x) > h(0) = 0$)

Do đó, $g(x)$ đồng biến với $x \in (-\infty, 0)$. Suy ra: $g(x) < g(0) = 0$. Suy ra $f(x) < g(x) < 0$

Tóm lại, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 0$